Cálculo de superficie de una lámina y costes asociados

**a) Hacer una gráfica de la lámina ¿Cuál es la superficie de la lámina?** Para representar la lámina y calcular su área, primero debemos encontrar los puntos donde se cortan las funciones $f(x) = (x - 2)^2$ y $g(x) = x + 4$. Igualamos ambas expresiones: $$(x - 2)^2 = x + 4$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado: $$x^2 - 4x + 4 = x + 4$$ Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación para resolver la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 5x = 0$$ Factorizamos: $$x(x - 5) = 0$$ Esto nos da dos puntos de corte: - $x_1 = 0$ - $x_2 = 5$ La lámina está comprendida entre estos dos valores. En este intervalo, la recta $g(x)$ queda por encima de la parábola $f(x)$. 💡 **Tip:** Para saber qué función está por encima, podemos evaluar un punto intermedio, por ejemplo $x=1$: $g(1)=5$ y $f(1)=1$. Como $g(1) \gt f(1)$, la recta es el techo.

La superficie de la lámina se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (techo menos suelo) entre los límites de corte encontrados: $$S = \int_{0}^{5} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$S = \int_{0}^{5} [x + 4 - (x^2 - 4x + 4)] \, dx = \int_{0}^{5} (x + 4 - x^2 + 4x - 4) \, dx$$ $$S = \int_{0}^{5} (-x^2 + 5x) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 + 5x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \right]_{0}^{5}$$ $$S = \left( -\frac{5^3}{3} + \frac{5 \cdot 5^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{5 \cdot 0^2}{2} \right)$$ $$S = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} = \frac{-250 + 375}{6} = \frac{125}{6} \approx 20.83 \text{ cm}^2$$ ✅ **Resultado (superficie):** $$\boxed{S = \frac{125}{6} \approx 20.83 \text{ cm}^2}$$

**b) Si cada centímetro cuadrado de lámina pesa 2 gramos, ¿cuántos gramos pesa la lámina?** Para hallar el peso total, multiplicamos la superficie obtenida en el apartado anterior por la densidad superficial de la lámina ($2 \text{ g/cm}^2$): $$\text{Peso} = \text{Superficie} \times \text{Densidad}$$ $$\text{Peso} = \frac{125}{6} \text{ cm}^2 \times 2 \text{ g/cm}^2$$ $$\text{Peso} = \frac{125}{3} \text{ gramos} \approx 41.67 \text{ gramos}$$ ✅ **Resultado (peso):** $$\boxed{\text{Peso} = \frac{125}{3} \approx 41.67 \text{ g}}$$

**c) Si el costo de adquisición de la lámina fue de 20 euros por gramo, ¿cuál debe ser el precio que debe poner a cada gramo de oro para tener un beneficio de 625 euros?** Primero, calculamos el **coste total** de adquisición: $$\text{Coste Total} = \text{Peso} \times \text{Precio de compra}$$ $$\text{Coste Total} = \frac{125}{3} \text{ g} \times 20 \text{ €/g} = \frac{2500}{3} \approx 833.33 \text{ €}$$ Queremos un beneficio de $625$ euros. La relación es: $$\text{Ingresos} = \text{Coste Total} + \text{Beneficio}$$ $$\text{Ingresos} = \frac{2500}{3} + 625 = \frac{2500 + 1875}{3} = \frac{4375}{3} \approx 1458.33 \text{ €}$$ Ahora, buscamos el precio de venta por gramo ($P_v$): $$\text{Ingresos} = \text{Peso} \times P_v \implies P_v = \frac{\text{Ingresos}}{\text{Peso}}$$ $$P_v = \frac{\frac{4375}{3}}{\frac{125}{3}} = \frac{4375}{125} = 35 \text{ €/g}$$ 💡 **Tip:** También podías plantearlo como: $\text{Beneficio} = (P_v - 20) \cdot \text{Peso}$. Sustituyendo: $625 = (P_v - 20) \cdot \frac{125}{3} \implies 15 = P_v - 20 \implies P_v = 35$. ✅ **Resultado (precio por gramo):** $$\boxed{P_v = 35 \text{ €/g}}$$