Programación lineal: Cerrajería de puertas mixtas

**a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.** Primero, definimos las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: - $x$: número de puertas tipo **TIMANFAYA**. - $y$: número de puertas tipo **TABURIENTE**. Organizamos los datos en una tabla para visualizar las restricciones de material: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Material} & \text{TIMANFAYA } (x) & \text{TABURIENTE } (y) & \text{Disponibilidad (Stock)} \\\hline \text{Hierro } (m^2) & 2 & 1 & 1000 \\\hline \text{Madera } (m^2) & 2 & 3 & 1500 \\\hline \text{Beneficio (€)} & 250 & 350 & \text{Maximizar } Z(x,y) \\\hline \end{array}$$ Planteamos las **restricciones** basadas en el stock disponible: 1. Hierro: $2x + y \le 1000$ 2. Madera: $2x + 3y \le 1500$ 3. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden fabricar puertas negativas). La **función objetivo** que queremos maximizar representa el beneficio total: $$Z(x, y) = 250x + 350y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre es útil resumir la información en una tabla y no olvidar las condiciones de no negatividad ($x, y \ge 0$). ✅ **Modelo final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & Z(x, y) = 250x + 350y \\ \text{Sujeto a: } & 2x + y \le 1000 \\ & 2x + 3y \le 1500 \\ & x \ge 0, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) Representar la región factible y determinar sus vértices.** Para representar la región factible, dibujamos las rectas correspondientes a las restricciones y determinamos el semiplano que cumple cada desigualdad: 1. **Recta $r_1$ (Hierro):** $2x + y = 1000$ - Si $x=0 \implies y=1000 \to (0, 1000)$ - Si $y=0 \implies 2x=1000 \implies x=500 \to (500, 0)$ 2. **Recta $r_2$ (Madera):** $2x + 3y = 1500$ - Si $x=0 \implies 3y=1500 \implies y=500 \to (0, 500)$ - Si $y=0 \implies 2x=1500 \implies x=750 \to (750, 0)$ La región factible es el polígono convexo formado por la intersección de estos semiplanos en el primer cuadrante. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir, prueba con el punto $(0,0)$. Si cumple la inecuación (ej: $0 \le 1000$), el semiplano es el que contiene al origen.

Los vértices de la región factible son los puntos de corte de las rectas que delimitan el recinto: - **A (Origen):** $(0, 0)$ - **B (Eje $x$):** Intersección de $2x + y = 1000$ con $y=0$. Como vimos: $B(500, 0)$ - **C (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} 2x + y = 1000 \\ 2x + 3y = 1500 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(2x + 3y) - (2x + y) = 1500 - 1000 \implies 2y = 500 \implies \mathbf{y = 250}$. Sustituyendo en la primera: $2x + 250 = 1000 \implies 2x = 750 \implies \mathbf{x = 375}$. Punto $C(375, 250)$. - **D (Eje $y$):** Intersección de $2x + 3y = 1500$ con $x=0$. Como vimos: $D(0, 500)$ ✅ **Vértices determinados:** $$\boxed{A(0, 0), \quad B(500, 0), \quad C(375, 250), \quad D(0, 500)}$$

**c) ¿Cuántas puertas de cada tipo se deben fabricar, con los metros cuadrados de material disponibles en el almacén, para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio?** Para encontrar el beneficio máximo, evaluamos la función objetivo $Z(x, y) = 250x + 350y$ en cada uno de los vértices hallados: 1. En $A(0, 0)$: $Z(0, 0) = 250(0) + 350(0) = 0\,€$ 2. En $B(500, 0)$: $Z(500, 0) = 250(500) + 350(0) = 125000\,€$ 3. En $C(375, 250)$: $Z(375, 250) = 250(375) + 350(250) = 93750 + 87500 = 181250\,€$ 4. En $D(0, 500)$: $Z(0, 500) = 250(0) + 350(500) = 175000\,€$ Comparando los resultados, el valor máximo es **181.250 euros**, que se alcanza fabricando 375 puertas Timanfaya y 250 puertas Taburiente. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo (máximo o mínimo) se encuentra siempre en uno de los vértices de la región factible. ✅ **Solución final:** Se deben fabricar **375 puertas TIMANFAYA** y **250 puertas TABURIENTE**. El beneficio máximo obtenido será de **181.250 euros**. $$\boxed{\text{Máximo en } (375, 250) \text{ con } Z = 181250\,€}$$