Inversibilidad y Resolución de Ecuaciones Matriciales

**a) Estudie si la matriz $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.** Para que una matriz sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (-1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 0) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$|A| = (1 + 0 + 0) - (1 + 0 - 2)$$ $$|A| = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo. Si el determinante fuera 0, diríamos que la matriz es singular.

Para calcular la inversa $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$, primero hallamos la matriz de los adjuntos de $A$, calculando el determinante de los menores correspondientes con su signo: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(1) = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Ahora trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el valor del determinante ($|A|=2$): $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1/2 & -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & -0.5 \\ -1 & 0 & 1 \\ -0.5 & -0.5 & 1.5 \end{pmatrix}}$$

**b) Determine la matriz $X$ tal que $A \cdot X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$** Tenemos la ecuación $A \cdot X = B$, donde $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Sustituimos $A^{-1}$ por la expresión obtenida en el apartado anterior (usaremos la fracción para facilitar el cálculo): $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de la matriz por el vector columna: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (-1 \cdot 1) \\ (-2 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (2 \cdot 1) \\ (-1 \cdot 1) + (-1 \cdot 1) + (3 \cdot 1) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + 1 - 1 \\ -2 + 0 + 2 \\ -1 - 1 + 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{pmatrix}}$$