Análisis 2023 Madrid
Integral definida con parámetro y recta tangente
A.2. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:
$$f(x) = 6x^2 + ae^x - 2, a \in \mathbb{R}$$
a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ sabiendo que $\int_{0}^{1} f(x) dx = e - 1$.
b) Para $a = 1$, obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.
Paso 1
Calcular la integral definida en función de a
**a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ sabiendo que $\int_{0}^{1} f(x) dx = e - 1$.**
Primero, calculamos la integral indefinida (la primitiva) de la función $f(x) = 6x^2 + ae^x - 2$. Aplicamos la linealidad de la integral, integrando cada sumando por separado:
$$\int (6x^2 + ae^x - 2) dx = 6 \int x^2 dx + a \int e^x dx - \int 2 dx$$
Usando las reglas básicas de integración (potencias y exponencial):
- $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$
- $\int e^x dx = e^x$
- $\int 2 dx = 2x$
Obtenemos la primitiva $F(x)$:
$$F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + a e^x - 2x = 2x^3 + ae^x - 2x$$
💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una suma es la suma de las integrales y que las constantes multiplicativas pueden salir fuera del símbolo de la integral.
Paso 2
Aplicar la Regla de Barrow
Para resolver la integral definida entre $0$ y $1$, aplicamos la **Regla de Barrow**: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.
Calculamos los valores en los extremos:
- Para $x = 1$:
$F(1) = 2(1)^3 + ae^1 - 2(1) = 2 + ae - 2 = ae$
- Para $x = 0$:
$F(0) = 2(0)^3 + ae^0 - 2(0) = 0 + a \cdot 1 - 0 = a$
Restamos ambos resultados:
$$\int_{0}^{1} f(x) dx = F(1) - F(0) = ae - a$$
Factorizando la expresión:
$$\int_{0}^{1} f(x) dx = a(e - 1)$$
💡 **Tip:** No olvides que $e^0 = 1$. Es un error muy común pensar que cualquier término con $e$ desaparece al evaluar en cero.
Paso 3
Determinar el valor del parámetro a
El enunciado nos indica que el valor de la integral es $e - 1$. Por tanto, igualamos nuestra expresión obtenida al valor dado:
$$a(e - 1) = e - 1$$
Para despejar $a$, dividimos ambos miembros por $(e - 1)$ (que es distinto de cero):
$$a = \frac{e - 1}{e - 1} = 1$$
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{a = 1}$$
Paso 4
Hallar el punto de la gráfica para la recta tangente
**b) Para $a = 1$, obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.**
Con $a = 1$, la función es $f(x) = 6x^2 + e^x - 2$.
La ecuación de la recta tangente en $x = x_0$ viene dada por:
$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$
En nuestro caso, $x_0 = 0$. Primero calculamos la ordenada del punto $f(0)$:
$$f(0) = 6(0)^2 + e^0 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$$
El punto de tangencia es **$(0, -1)$**.
💡 **Tip:** La recta tangente siempre pasa por el punto $(x_0, f(x_0))$, por lo que este es el primer valor que debes calcular.
Paso 5
Calcular la pendiente y la ecuación final
La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en el punto, $m = f'(0)$.
Calculamos la derivada de $f(x) = 6x^2 + e^x - 2$:
$$f'(x) = 12x + e^x$$
Evaluamos en $x = 0$:
$$m = f'(0) = 12(0) + e^0 = 0 + 1 = 1$$
Sustituimos el punto $(0, -1)$ y la pendiente $m = 1$ en la fórmula de la recta:
$$y - (-1) = 1(x - 0)$$
$$y + 1 = x$$
$$y = x - 1$$
✅ **Resultado del apartado b):**
$$\boxed{y = x - 1}$$