Estudio de una función a trozos: dominio, continuidad y asíntotas

**a) Indique el dominio de la función $f(x)$ y analice su continuidad, señalando el tipo de discontinuidad si la presenta.** Para hallar el dominio de una función definida a trozos, estudiamos el dominio de cada rama en su intervalo correspondiente: 1. Para el primer trozo $f_1(x) = \frac{-x^4}{x^2+1}$ definido en $x \le 0$: El denominador $x^2+1$ nunca es cero (ya que $x^2 \ge 0$, luego $x^2+1 \ge 1$). Por tanto, no hay puntos de exclusión en este intervalo. 2. Para el segundo trozo $f_2(x) = \frac{x^2+1}{x+1}$ definido en $x \gt 0$: El denominador se anula si $x+1 = 0 \implies x = -1$. Sin embargo, el valor $x = -1$ no pertenece al intervalo de definición de esta rama ($x \gt 0$). Concluimos que la función está definida para cualquier número real. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales excepto los que anulan el denominador. Siempre verifica si esos valores caen dentro del intervalo del trozo correspondiente. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Analizamos la continuidad en el punto donde cambia la definición de la función, $x = 0$: 1. **Valor de la función:** $$f(0) = \frac{-0^4}{0^2+1} = \frac{0}{1} = 0$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{-x^4}{x^2+1} = \frac{0}{1} = 0$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2+1}{x+1} = \frac{0^2+1}{0+1} = 1$$ Como los límites laterales son finitos pero distintos ($0 \neq 1$), existe una **discontinuidad de salto finito** en $x = 0$. En el resto de puntos, la función es continua por ser cociente de polinomios donde el denominador no se anula. 💡 **Tip:** Una función es continua en $a$ si $f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. Si los límites laterales existen pero son diferentes, el salto se calcula como $|L_1 - L_2|$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}. \text{ En } x=0 \text{ hay una discontinuidad de salto finito (salto = 1)}}$$

**b) Determine las asíntotas de la función anterior.** **Asíntotas Verticales (A.V.):** Como hemos visto en el dominio, no hay ningún valor real que anule los denominadores dentro de sus respectivos dominios de definición. Por tanto, **no hay asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (A.H.):** Estudiamos los límites en el infinito: - Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-x^4}{x^2+1} = -\infty$$ (El grado del numerador, 4, es mayor que el del denominador, 2). - Por la derecha ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x+1} = +\infty$$ (El grado del numerador, 2, es mayor que el del denominador, 1). No existen asíntotas horizontales en ninguna dirección. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es estrictamente mayor que el del denominador, el límite es infinito y no hay A.H.

Buscamos asíntotas oblicuas $y = mx + n$: 1. **Rama izquierda ($x \to -\infty$):** $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^4}{x(x^2+1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^4}{x^3+x} = +\infty$$ Como el límite no es finito, **no hay asíntota oblicua** por la izquierda. 2. **Rama derecha ($x \to +\infty$):** $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x(x+1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x^2+x} = 1$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2+1}{x+1} - 1 \cdot x \right)$$ $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1 - x(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1 - x^2 - x}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x+1}{x+1} = -1$$ Existe una asíntota oblicua por la derecha: $y = x - 1$. 💡 **Tip:** Hay asíntota oblicua cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{A.V: No hay; A.H: No hay; A.O: } y = x - 1 \text{ cuando } x \to +\infty}$$