Probabilidad condicionada y leyes de De Morgan

**a) $P(A \cap B)$.** Primero, extraemos la información proporcionada por el enunciado: - $P(A) = 0,55$ - $P(B) = 0,1$ - $P(\bar{B} | A) = 0,89$ A partir de estos datos, podemos deducir sus complementarios: - $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45$ - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,1 = 0,9$ También sabemos que la suma de las probabilidades condicionadas sobre un mismo suceso debe ser 1: $$P(B | A) + P(\bar{B} | A) = 1 \implies P(B | A) = 1 - 0,89 = 0,11$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(B|A)$ representa la probabilidad de que ocurra $B$ sabiendo que ya ha ocurrido $A$. La suma de las ramas que salen de un mismo nodo en un árbol de probabilidad siempre es 1. Podemos visualizar la situación con el siguiente árbol (aunque nos falten algunos datos de la rama de $\bar{A}$ que calcularemos después):

Para hallar $P(A \cap B)$, utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ Despejando la intersección: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B) = 0,55 \cdot 0,11 = 0,0605$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la intersección de dos sucesos es el producto de la probabilidad del primero por la probabilidad del segundo condicionado al primero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0,0605}$$

**b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$, siendo $\bar{A}$ el suceso complementario de $A$.** Para calcular la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$, utilizaremos las **Leyes de De Morgan**. Primero, necesitamos calcular la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$. La fórmula general es: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores que ya tenemos: $$P(A \cup B) = 0,55 + 0,1 - 0,0605$$ $$P(A \cup B) = 0,65 - 0,0605 = 0,5895$$ 💡 **Tip:** No olvides restar la intersección en la fórmula de la unión para no contar dos veces la parte común entre ambos sucesos.

Según las **Leyes de De Morgan**, el suceso "no ocurre A y no ocurre B" $(\bar{A} \cap \bar{B})$ es equivalente al complementario de la unión $(\overline{A \cup B})$. Por tanto: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$$ Sustituimos el valor de la unión calculado en el paso anterior: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,5895 = 0,4105$$ 💡 **Tip:** Recuerda las dos Leyes de De Morgan: 1. $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ 2. $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,4105}$$