Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtiene que su media muestral es de 200 ml. Determine un intervalo de confianza del 95 % para la capacidad media de los botes de champú.** Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado para la variable aleatoria $X$, que sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$ ml. - Tamaño de la muestra: $n = 20$. - Media muestral: $\bar{x} = 200$ ml. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Como el nivel de confianza es del $95\%$, tenemos que $\alpha = 0,05$, por lo que $\alpha/2 = 0,025$. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ el valor que deja a su izquierda una probabilidad de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,975.$$ Consultando la tabla, observamos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para los niveles de confianza más habituales ($90\%, 95\%, 99\%$) los valores críticos suelen ser $1,645, 1,96$ y $2,575$ respectivamente.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{10}{\sqrt{20}}$$ $$E = 1,96 \cdot \frac{10}{4,4721} \approx 1,96 \cdot 2,2361 = 4,3827.$$ Ahora, calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $200 - 4,3827 = 195,6173$. - Extremo superior: $200 + 4,3827 = 204,3827$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (195,6173; 204,3827)}$$

**b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que 0,5 mililitros, con un nivel de confianza del 90 %.** En este apartado, los nuevos datos son: - Error máximo: $E \lt 0,5$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$. - Desviación típica: $\sigma = 10$ (se mantiene igual). Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $90\%$: $$\alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05.$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95.$$ En la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor $0,95$ se encuentra justo entre $1,64$ y $1,65$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores conocidos para que el error sea menor que $0,5$: $$\frac{1,645 \cdot 10}{\sqrt{n}} \lt 0,5$$ $$\frac{16,45}{\sqrt{n}} \lt 0,5 \implies \frac{16,45}{0,5} \lt \sqrt{n}$$ $$32,9 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n \gt (32,9)^2$$ $$n \gt 1082,41$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea **menor** que el solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1083 \text{ botes}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (como en $1082,01$), siempre se redondea hacia arriba para cumplir la restricción del error máximo.