Problema de sistemas de ecuaciones: Reparto de buñuelos

**Calcule la cantidad de buñuelos que hay de cada tipo.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades de cada tipo de buñuelo: - $x$: número de buñuelos de **chocolate**. - $y$: número de buñuelos de **nata**. - $z$: número de buñuelos de **crema**. A continuación, traducimos el enunciado a ecuaciones algebraicas: 1. El total de buñuelos es 220: $$x + y + z = 220$$ 2. Hay el doble de nata que de crema: $$y = 2z \implies y - 2z = 0$$ 3. El doble de crema ($2z$) más el triple de chocolate ($3x$) es igual al doble de nata ($2y$): $$2z + 3x = 2y \implies 3x - 2y + 2z = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de texto, asegúrate de que todas las variables estén en el mismo lado de la igualdad y ordenadas para facilitar la resolución del sistema.

Escribimos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de forma ordenada: $$\begin{cases} x + y + z = 220 \\ y - 2z = 0 \\ 3x - 2y + 2z = 0 \end{cases}$$ Para resolverlo, podemos utilizar el **método de Gauss** o el **método de sustitución**. Dado que la segunda ecuación ya nos da una relación directa entre $y$ y $z$ ($y=2z$), utilizaremos la sustitución para simplificar el proceso. 💡 **Tip:** Si una ecuación es muy sencilla (como $y=2z$), sustituirla en las demás suele ser el camino más rápido.

Sustituimos $y = 2z$ en la primera y tercera ecuación: **En la primera ecuación:** $$x + (2z) + z = 220 \implies x + 3z = 220 \quad [Ec. A]$$ **En la tercera ecuación:** $$3x - 2(2z) + 2z = 0 \implies 3x - 4z + 2z = 0 \implies 3x - 2z = 0 \quad [Ec. B]$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ y $z$): $$\begin{cases} x + 3z = 220 \\ 3x - 2z = 0 \end{cases}$$

De la ecuación $[Ec. B]$, despejamos $x$: $$3x = 2z \implies x = \frac{2z}{3}$$ Sustituimos este valor de $x$ en la ecuación $[Ec. A]$: $$\frac{2z}{3} + 3z = 220$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por 3: $$2z + 9z = 660$$ $$11z = 660$$ $$z = \frac{660}{11} = 60$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas fracciones, multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores facilita mucho los cálculos manuales.

Una vez hallado el valor de $z = 60$, calculamos el resto de las variables: 1. **Para $y$ (nata):** Utilizamos la relación $y = 2z$: $$y = 2 \cdot 60 = 120$$ 2. **Para $x$ (chocolate):** Utilizamos la primera ecuación original $x + y + z = 220$: $$x + 120 + 60 = 220$$ $$x + 180 = 220$$ $$x = 220 - 180 = 40$$ **Comprobación:** - Suma total: $40 + 120 + 60 = 220$ (Correcto) - Doble nata que crema: $120 = 2 \cdot 60$ (Correcto) - Triple chocolate más doble crema: $3(40) + 2(60) = 120 + 120 = 240$. Doble de nata: $2(120) = 240$ (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 40 buñuelos de chocolate, 120 de nata y 60 de crema.}}$$