Optimización de la producción de pintura

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar las incógnitas y lo que queremos maximizar. Definimos las variables: - $x$: litros de pintura **VERDE1** a producir. - $y$: litros de pintura **VERDE2** a producir. La función que representa el beneficio total, que queremos maximizar, es: $$f(x, y) = 1x + 1,2y$$ 💡 **Tip:** Identificar claramente las unidades y qué representa cada variable es fundamental para no confundir las restricciones después.

Traducimos las limitaciones de recursos y producción a inecuaciones matemáticas: 1. **Restricción de pintura Azul:** Cada litro de VERDE1 usa 0,3 L y cada litro de VERDE2 usa 0,5 L. El total no puede superar los 20 L: $$0,3x + 0,5y \le 20$$ 2. **Restricción de pintura Amarilla:** Cada litro de VERDE1 usa 0,7 L y cada litro de VERDE2 usa 0,5 L. El total no puede superar los 28 L: $$0,7x + 0,5y \le 28$$ 3. **Límite de producción de VERDE1:** No se pueden producir más de 30 litros: $$x \le 30$$ 4. **No negatividad:** No se pueden producir cantidades negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones es: $$\begin{cases} 0,3x + 0,5y \le 20 \\ 0,7x + 0,5y \le 28 \\ x \le 30 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Si prefieres trabajar con números enteros, puedes multiplicar las dos primeras inecuaciones por 10 para eliminar decimales: $3x + 5y \le 200$ y $7x + 5y \le 280$.

La región factible es el área que cumple todas las condiciones. Vamos a encontrar sus vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones asociados a las rectas: - **Punto A (Origen):** $(0, 0)$ - **Punto B (Eje Y):** Intersección de $x=0$ con la restricción del azul ($0,3(0) + 0,5y = 20$): $$0,5y = 20 \implies y = 40 \implies B(0, 40)$$ *Comprobamos si cumple la otra restricción:* $0,7(0) + 0,5(40) = 20 \le 28$ (Sí). - **Punto C (Intersección Azul y Amarilla):** $$\begin{cases} 0,3x + 0,5y = 20 \\ 0,7x + 0,5y = 28 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(0,7x - 0,3x) = 28 - 20 \implies 0,4x = 8 \implies x = 20$. Sustituyendo $x=20$ en la primera: $0,3(20) + 0,5y = 20 \implies 6 + 0,5y = 20 \implies 0,5y = 14 \implies y = 28$. $$C(20, 28)$$ - **Punto D (Intersección Amarilla y $x=30$):** $0,7(30) + 0,5y = 28 \implies 21 + 0,5y = 28 \implies 0,5y = 7 \implies y = 14$. $$D(30, 14)$$ - **Punto E (Eje X y $x=30$):** $(30, 0)$

Evaluamos $f(x, y) = x + 1,2y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el máximo: - $f(0, 0) = 0 + 1,2(0) = 0$ € - $f(0, 40) = 0 + 1,2(40) = 48$ € - $f(20, 28) = 20 + 1,2(28) = 20 + 33,6 = 53,6$ € - $f(30, 14) = 30 + 1,2(14) = 30 + 16,8 = 46,8$ € - $f(30, 0) = 30 + 1,2(0) = 30$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(20, 28)$. 💡 **Tip:** En problemas de maximización, el punto óptimo suele estar en una de las intersecciones de las restricciones más críticas (las que se agotan primero).

A la vista de los resultados, para obtener el máximo beneficio el fabricante debe producir: - **20 litros de pintura VERDE1** - **28 litros de pintura VERDE2** El beneficio total obtenido será de **53,6 euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{20 L de VERDE1, 28 L de VERDE2; Beneficio: 53,6 €}}$$