Probabilidad y Estadística 2023 Madrid
Análisis de ayudas al estudio y financiación
B.4. (2 puntos) El Ministerio de Educación y Formación Profesional convoca regularmente unas ayudas al estudio. En el curso 2019-2020 las ayudas destinadas a las Enseñanzas Obligatorias representaron el 56,5 % del total, el 24 % correspondieron a Enseñanzas Universitarias, mientras que el 19,5 % restante fueron para Enseñanzas Postobligatorias No Universitarias. Las ayudas concedidas son financiadas o bien por el ministerio o bien por la Comunidad Autónoma a la que pertenece el estudiante. Concretamente, en el curso 2019-2020, las ayudas financiadas por el ministerio representaron el 13,8 % del total de ayudas de Enseñanzas Obligatorias, el 86,1 % de las Universitarias y el 80,3 % de las Postobligatorias No Universitarias. Eligiendo una ayuda al estudio al azar de las anteriormente descritas, calcule la probabilidad de que:
a) Sea financiada por el ministerio.
b) La ayuda sea de Enseñanza Obligatoria, sabiendo que ha sido financiada por el ministerio.
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a) Sea financiada por el ministerio.**
Primero, definimos los sucesos principales según el tipo de enseñanza y la fuente de financiación:
- $O$: La ayuda es de **Enseñanza Obligatoria**.
- $U$: La ayuda es de **Enseñanza Universitaria**.
- $P$: La ayuda es de **Enseñanza Postobligatoria No Universitaria**.
- $M$: La ayuda es financiada por el **Ministerio**.
- $\bar{M}$: La ayuda es financiada por la **Comunidad Autónoma**.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(O) = 0,565$
- $P(U) = 0,24$
- $P(P) = 0,195$
- $P(M|O) = 0,138$
- $P(M|U) = 0,861$
- $P(M|P) = 0,803$
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que la ayuda sea financiada por el ministerio, $P(M)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Sumamos las probabilidades de las tres ramas que terminan en $M$:
$$P(M) = P(O) \cdot P(M|O) + P(U) \cdot P(M|U) + P(P) \cdot P(M|P)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(M) = 0,565 \cdot 0,138 + 0,24 \cdot 0,861 + 0,195 \cdot 0,803$$
Realizamos las operaciones:
$$P(M) = 0,07797 + 0,20664 + 0,156585$$
$$P(M) = 0,441195$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos o causas mutuamente excluyentes.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0,4412}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) La ayuda sea de Enseñanza Obligatoria, sabiendo que ha sido financiada por el ministerio.**
Nos piden la probabilidad de que la ayuda sea de Enseñanza Obligatoria ($O$) dado que sabemos que es financiada por el ministerio ($M$), es decir, $P(O|M)$.
Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(O|M) = \frac{P(O \cap M)}{P(M)} = \frac{P(O) \cdot P(M|O)}{P(M)}$$
Sustituimos con los valores obtenidos anteriormente:
$$P(O|M) = \frac{0,565 \cdot 0,138}{0,441195}$$
$$P(O|M) = \frac{0,07797}{0,441195}$$
$$P(O|M) \approx 0,1767245...$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes es muy útil para el cálculo de probabilidades 'a posteriori', es decir, cuando conocemos el resultado final y queremos saber la probabilidad de que se deba a una causa concreta.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(O|M) \approx 0,1767}$$