Distribución de la proporción muestral

**a) ¿Cuál es la distribución aproximada que sigue la proporción de individuos con titulación universitaria de la muestra?** Primero identificamos los datos del enunciado para la población: - Proporción poblacional: $p = 0.30$ (individuos con titulación). - Proporción complementaria: $q = 1 - p = 0.70$ (individuos sin titulación). - Tamaño de la muestra: $n = 120$. Para poder aproximar la distribución de la proporción muestral $\hat{p}$ a una distribución Normal, debemos verificar que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande. Las condiciones suelen ser: 1. $n \cdot p \ge 5 \implies 120 \cdot 0.30 = 36 \ge 5$ 2. $n \cdot q \ge 5 \implies 120 \cdot 0.70 = 84 \ge 5$ Como se cumplen ambas condiciones, la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución Normal aproximada. 💡 **Tip:** Recuerda que si el muestreo es aleatorio y el tamaño $n$ es grande, la proporción de la muestra tiende a comportarse como una Normal gracias al Teorema Central del Límite.

La distribución de la proporción muestral $\hat{p}$ se denota como: $$\hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}\right)$$ Calculamos la media y la desviación típica de esta distribución: - Media: $\mu_{\hat{p}} = p = 0.30$. - Desviación típica: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.30 \cdot 0.70}{120}} = \sqrt{\frac{0.21}{120}} = \sqrt{0.00175} \approx 0.04183$. Por tanto, la distribución aproximada es: $$\boxed{\hat{p} \sim N(0.30, \, 0.04183)}$$

**b) Halle la probabilidad de que más del 35 % de los individuos de la muestra sean titulados universitarios.** Buscamos la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que $0.35$, es decir, $P(\hat{p} \gt 0.35)$. Para calcular esta probabilidad, debemos **tipificar** la variable para pasar a una Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula: $$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}}$$ Sustituimos los valores: $$P(\hat{p} \gt 0.35) = P\left(Z \gt \frac{0.35 - 0.30}{0.04183}\right)$$ $$P(Z \gt \frac{0.05}{0.04183}) = P(Z \gt 1.1953)$$ Redondeando a dos decimales para usar las tablas habituales: $P(Z \gt 1.20)$. 💡 **Tip:** La tipificación nos permite usar la tabla de la Normal $N(0,1)$ que es universal para todos los problemas de este tipo.

Como las tablas de la Normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada hacia la izquierda $P(Z \le z)$, transformamos nuestra expresión: $$P(Z \gt 1.20) = 1 - P(Z \le 1.20)$$ Buscamos el valor $1.20$ en la tabla de la $N(0,1)$: - En la fila de $1.2$ y columna de $0.00$, encontramos: $0.8849$. Calculamos el resultado final: $$P(\hat{p} \gt 0.35) = 1 - 0.8849 = 0.1151$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\hat{p} \gt 0.35) = 0.1151}$$ (Nota: Si se usa el valor sin redondear $1.1953$ e interpolando, el resultado es aproximadamente $0.1160$, pero en Bachillerato se acepta el redondeo a dos decimales).