Potencias de matrices e inversa

**a) Determine $A^3$ y $A^{2023}$.** Para calcular $A^3$, primero debemos hallar $A^2$ mediante el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1/6 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^3$ multiplicando $A^2$ por $A$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1/6 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ 💡 **Tip:** Cuando una potencia de una matriz da como resultado la matriz identidad ($I$), decimos que la matriz es cíclica. Esto simplifica enormemente el cálculo de potencias elevadas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^3 = I}$$

Como $A^3 = I$, las potencias de $A$ se repiten cada tres exponentes. Para calcular $A^{2023}$, dividimos el exponente $2023$ entre el periodo $3$: $$2023 = 3 \cdot 674 + 1$$ Utilizando las propiedades de las potencias: $$A^{2023} = A^{3 \cdot 674 + 1} = (A^3)^{674} \cdot A^1$$ Como $A^3 = I$: $$A^{2023} = I^{674} \cdot A = I \cdot A = A$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2023} = A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Estudie si la matriz $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila (o aplicando Sarrus): $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 + 6 \cdot \begin{vmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{vmatrix} = 6 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} - 0 \right) = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz es $1$ o $-1$, su inversa suele tener elementos enteros o fracciones sencillas.

Podemos calcular la inversa de dos formas. **Método 1 (Directo):** En el apartado anterior vimos que $A^3 = I$. Esto podemos escribirlo como: $$A \cdot A^2 = I$$ Por la definición de matriz inversa ($A \cdot A^{-1} = I$), se deduce directamente que: $$A^{-1} = A^2$$ **Método 2 (Cálculo de adjuntos):** Calculamos la traspuesta de la matriz de adjuntos y dividimos por el determinante ($|A|=1$): $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1/6 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1/6 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$