Recta tangente y extremos relativos de una función polinómica

**a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$, necesitamos conocer el punto de tangencia $(a, f(a))$ y la pendiente de la recta, que viene dada por el valor de la derivada en dicho punto, $f'(a)$. 1. **Hallamos la imagen de la función en $x=1$:** $$f(1) = (1)^3 + 2(1)^2 = 1 + 2 = 3$$ Por tanto, el punto de tangencia es **$(1, 3)$**. 2. **Calculamos la derivada de la función:** $$f'(x) = 3x^2 + 4x$$ 3. **Hallamos la pendiente $m$ evaluando la derivada en $x=1$:** $$m = f'(1) = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7$$ 💡 **Recuerda que:** La derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Utilizamos la fórmula de la recta en su forma punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituyendo los valores obtenidos ($a=1$, $f(1)=3$, $f'(1)=7$): $$y - 3 = 7(x - 1)$$ Despejamos la $y$ para obtener la forma explícita: $$y - 3 = 7x - 7$$ $$y = 7x - 7 + 3$$ $$y = 7x - 4$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = 7x - 4}$$

**b) Determine los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si son máximos o mínimos.** Los extremos relativos (máximos y mínimos) se encuentran entre los puntos donde la primera derivada es igual a cero (puntos críticos). Partimos de la derivada calculada anteriormente: $$f'(x) = 3x^2 + 4x$$ Igualamos a cero: $$3x^2 + 4x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(3x + 4) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $3x + 4 = 0 \implies 3x = -4 \implies x = -\dfrac{4}{3}$ 💡 **Recuerda que:** Un punto crítico es un candidato a extremo relativo, pero debemos comprobar si realmente lo es estudiando el signo de la derivada a su alrededor.

Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos, estudiaremos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces $x = -4/3$ y $x = 0$. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -4/3) & -4/3 & (-4/3, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ - En el intervalo $(-\infty, -4/3)$, tomamos $x = -2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) = 12 - 8 = 4 \gt 0$ (**Creciente**). - En el intervalo $(-4/3, 0)$, tomamos $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 + 4(-1) = 3 - 4 = -1 \lt 0$ (**Decreciente**). - En el intervalo $(0, +\infty)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 + 4(1) = 7 \gt 0$ (**Creciente**). Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = -4/3$, hay un **máximo relativo**. Como la función pasa de decrecer a crecer en $x = 0$, hay un **mínimo relativo**.

Para completar la respuesta, calculamos el valor de la función $f(x)$ en cada uno de estos puntos: 1. **Para el máximo en $x = -4/3$:** $$f\left(-\frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 + 2\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = -\frac{64}{27} + 2\left(\frac{16}{9}\right) = -\frac{64}{27} + \frac{32}{9}$$ $$f\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{64}{27} + \frac{96}{27} = \frac{32}{27}$$ 2. **Para el mínimo en $x = 0$:** $$f(0) = (0)^3 + 2(0)^2 = 0$$ ✅ **Resultado (extremos relativos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(-\frac{4}{3}, \frac{32}{27}\right) \approx (-1.33, 1.18)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 0)}$$