Continuidad de función a trozos y cálculo de área

**a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en su dominio.** La función $f(x)$ está definida por dos ramas. La primera rama, $ax^2 + 3$, es una función polinómica, por lo que es continua en todo el intervalo $(-\infty, 2)$. La segunda rama, $e^x$, es una función exponencial, continua en el intervalo $[2, +\infty)$. Para que la función sea continua en todo su dominio, el único punto de posible discontinuidad es el punto de salto entre ramas, $x = 2$. Para que sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (ax^2 + 3) = a(2)^2 + 3 = 4a + 3$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} e^x = e^2$$ 3. **Valor de la función ($f(2)$):** $$f(2) = e^2$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $x=c$ si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Igualamos los límites laterales calculados anteriormente para garantizar que el límite global existe y coincide con el valor de la función: $$4a + 3 = e^2$$ Despejamos el parámetro $a$ paso a paso: $$4a = e^2 - 3$$ $$a = \frac{e^2 - 3}{4}$$ Para este valor de $a$, la función no presenta salto en $x=2$ y es continua en todo $\mathbb{R}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \dfrac{e^2 - 3}{4}}$$

**b) Calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = 2$ y $x = 3$.** Se nos pide el área entre $x = 2$ y $x = 3$. Observando la definición de la función a trozos: $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3 & x \lt 2 \\ e^x & x \ge 2 \end{cases}$$ En el intervalo solicitado $[2, 3]$, la función que rige es $f(x) = e^x$. Como la función exponencial $e^x$ es siempre positiva ($e^x \gt 0$), el área coincide directamente con la integral definida de la función entre los límites dados. El área $A$ viene dada por: $$A = \int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} e^x \, dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una función positiva $f(x)$ entre $x=a$ y $x=b$ es $\int_a^b f(x) dx$.

Calculamos la integral definida utilizando la **Regla de Barrow**. Primero hallamos una primitiva de $e^x$, que es la propia función $e^x$. $$A = \int_{2}^{3} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{2}^{3}$$ Aplicamos los límites de integración: $$A = e^3 - e^2$$ Podemos dejar el resultado en función de $e$ para mayor precisión, o dar una aproximación decimal: $$A = e^2(e - 1) \approx 20.085 - 7.389 = 12.696 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Regla de Barrow: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = e^3 - e^2 \text{ u}^2}$$