Probabilidad de hábitos alimenticios y actividad física

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en los datos del enunciado: - $A$: La mujer practica semanalmente al menos 150 minutos de actividad física. - $F$: La mujer consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día. Extraemos las probabilidades dadas en el enunciado (expresadas en tanto por uno): - $P(A) = 0,274$ - $P(F) = 0,651$ - $P(A \cup F) = 0,763$ (probabilidad de que haga actividad física **o** consuma fruta/verdura). 💡 **Tip:** Recuerda que el término "o" en probabilidad se asocia con la unión ($\cup$) y el término "y" con la intersección ($\cap$).

Para resolver el ejercicio de forma clara, utilizaremos una **tabla de contingencia**. Primero necesitamos calcular la probabilidad de la intersección $P(A \cap F)$ usando la propiedad de la unión: $$P(A \cup F) = P(A) + P(F) - P(A \cap F)$$ Despejamos $P(A \cap F)$: $$P(A \cap F) = P(A) + P(F) - P(A \cup F)$$ $$P(A \cap F) = 0,274 + 0,651 - 0,763 = 0,162$$ Ahora completamos la tabla con los sucesos complementarios ($\bar{A}$ y $\bar{F}$): - $P(\bar{A}) = 1 - 0,274 = 0,726$ - $P(\bar{F}) = 1 - 0,651 = 0,349$ - $P(A \cap \bar{F}) = P(A) - P(A \cap F) = 0,274 - 0,162 = 0,112$ - $P(\bar{A} \cap F) = P(F) - P(A \cap F) = 0,651 - 0,162 = 0,489$ - $P(\bar{A} \cap \bar{F}) = P(\bar{F}) - P(A \cap \bar{F}) = 0,349 - 0,112 = 0,237$ $$\begin{array}{c|cc|c} & F & \bar{F} & \text{Total} \\\hline A & 0,162 & 0,112 & 0,274 \\ \bar{A} & 0,489 & 0,237 & 0,726 \\\hline \text{Total} & 0,651 & 0,349 & 1,000 \end{array}$$

**a) Dedique semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física y consuma de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día.** Nos piden la probabilidad de la intersección, es decir, que ocurran ambos sucesos simultáneamente: $P(A \cap F)$. Como ya hemos calculado en el paso anterior mediante la fórmula de la unión: $$P(A \cap F) = P(A) + P(F) - P(A \cup F)$$ $$P(A \cap F) = 0,274 + 0,651 - 0,763 = 0,162$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap F) = 0,162}$$

**b) No dedique semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física, sabiendo que no consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día.** Nos piden calcular una probabilidad condicionada: la probabilidad de $\bar{A}$ sabiendo que ha ocurrido $\bar{F}$, denotada como $P(\bar{A} | \bar{F})$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\bar{A} | \bar{F}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{F})}{P(\bar{F})}$$ Sustituimos los valores obtenidos en nuestra tabla de contingencia: - $P(\bar{A} \cap \bar{F}) = 0,237$ - $P(\bar{F}) = 0,349$ $$P(\bar{A} | \bar{F}) = \frac{0,237}{0,349} \approx 0,6791$$ 💡 **Tip:** También podrías haber obtenido $P(\bar{A} \cap \bar{F})$ usando la **Leyes de De Morgan**: $P(\bar{A} \cap \bar{F}) = P(\overline{A \cup F}) = 1 - P(A \cup F) = 1 - 0,763 = 0,237$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} | \bar{F}) \approx 0,6791}$$