Estimación de proporciones e intervalos de confianza

**a) Sabiendo que la proporción poblacional es $P = 0,55$, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra de empresas para garantizar que, con una confianza del 99, 01 %, el margen de error en la estimación no supere el 10 %.** Primero identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el apartado a): - Proporción poblacional: $P = 0,55$ - Q (complemento de P): $Q = 1 - P = 1 - 0,55 = 0,45$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,9901$ - Margen de error admitido: $E \le 0,10$ (10 %) 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de proporciones, si no nos dan el valor de $P$, solemos usar el caso más desfavorable ($P=0,5$ y $Q=0,5$), pero aquí el enunciado especifica $P=0,55$.

Para un nivel de confianza del $99,01 \%$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$. Si $1 - \alpha = 0,9901$, entonces: $$\alpha = 1 - 0,9901 = 0,0099$$ $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0,0099}{2} = 0,00495$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,00495 = 0,99505$. Consultando la tabla de la normal: - Para $z = 2,57 \implies P(Z \le 2,57) = 0,9949$ - Para $z = 2,58 \implies P(Z \le 2,58) = 0,9951$ El valor $0,99505$ está prácticamente en $z = 2,58$ (o exactamente en el punto medio, pero usaremos $2,58$ por precisión estándar en Bachillerato). $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,58}$$

Utilizamos la fórmula del margen de error para la proporción y despejamos el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{P \cdot Q}{n}} \implies n \ge \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot P \cdot Q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n \ge \frac{(2,58)^2 \cdot 0,55 \cdot 0,45}{(0,10)^2}$$ $$n \ge \frac{6,6564 \cdot 0,2475}{0,01}$$ $$n \ge \frac{1,647459}{0,01} = 164,7459$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error no supere el máximo fijado. ✅ **Resultado (tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 165 \text{ empresas}}$$

**b) Si la muestra aleatoria fue de 100 empresas, de las cuales 70 tuvieron pérdidas, determine un intervalo de confianza al 95 % para la proporción de empresas que tuvieron pérdidas durante el primer año de pandemia.** Identificamos los nuevos datos del apartado b): - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Éxitos (pérdidas): $x = 70$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{70}{100} = 0,7$ - $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 0,3$ - Nivel de confianza: $95 \% \implies 1 - \alpha = 0,95$ Para un nivel de confianza del $95 \%$, el valor crítico es un valor estándar conocido: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,975 \implies \boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la proporción tiene la estructura: $\hat{p} \pm E$.

La fórmula del intervalo de confianza es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el margen de error $E$: $$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,7 \cdot 0,3}{100}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,21}{100}} = 1,96 \cdot \sqrt{0,0021}$$ $$E \approx 1,96 \cdot 0,0458 = 0,0898$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,7 - 0,0898 = 0,6102$ - Límite superior: $0,7 + 0,0898 = 0,7898$ ✅ **Resultado (intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0,6102 \, , \, 0,7898)}$$ Esto significa que, con un $95 \%$ de confianza, la verdadera proporción de empresas con pérdidas está entre el $61,02 \%$ y el $78,98 \%$.