Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 2 & 1 \\ 1 & a & 2 & a \\ 1 & 2 & a & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 2) - [ (1 \cdot a \cdot 2) + (2 \cdot 2 \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot a) ]$$ $$|A| = a^3 + 2 + 4 - (2a + 4a + a) = a^3 + 6 - 7a = a^3 - 7a + 6$$ 💡 **Tip:** Para discutir un sistema, el primer paso suele ser encontrar los valores del parámetro que hacen que el determinante de la matriz de coeficientes sea cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^3 - 7a + 6 = 0$$ Probamos valores enteros para aplicar la regla de Ruffini. Si $a = 1$: $1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$. Por tanto, $a = 1$ es una raíz. Dividimos por $(a-1)$: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -7 & 6 \\ 1 & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante $a^2 + a - 6 = 0$: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ Obtenemos $a_1 = 2$ y $a_2 = -3$. Las raíces son **$a = 1, a = 2, a = -3$**.

Si **$a = 1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 1 y la fila 2 son idénticas ($F_1 = F_2$). La matriz $A$ tiene un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1=1 \neq 0$. Por tanto: - $rango(A) = 2$ - $rango(A^*) = 2$ (ya que la fila repetida no aporta rango) - Número de incógnitas $= 3$ Como $rango(A) = rango(A^*) \lt 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones).

Si **$a = 2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & a & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos las filas 2 y 3. La parte de los coeficientes es igual ($x + 2y + 2z$), pero los términos independientes son distintos ($2$ y $1$). Esto indica una contradicción. Formalmente: - $rango(A) = 2$ (ya que $|A|=0$ y existe el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$). - Para el $rango(A^*)$, calculamos un menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (4+2+2) - (2+8+1) = 8 - 11 = -3 \neq 0 \implies rango(A^*) = 3$$ Como $rango(A) \neq rango(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)** (no tiene solución).

Si **$a = -3$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -3 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 & -3 \\ 1 & 2 & -3 & 1 \end{array}\right)$$ - $rango(A) = 2$ (ya que $|A|=0$ y existe el menor $\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 9-1=8 \neq 0$). - Calculamos el rango de $A^*$ usando el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (2-12+9) - (4+9-6) = -1 - 7 = -8 \neq 0 \implies rango(A^*) = 3$$ Como $rango(A) \neq rango(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)** (no tiene solución).

Resumiendo la discusión según los valores de $a$: - Si **$a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2, -3\}$**: $rango(A) = rango(A^*) = 3 = n^o \, incóg$. **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. - Si **$a = 1$**: $rango(A) = rango(A^*) = 2 \lt 3$. **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. - Si **$a = 2$** o **$a = -3$**: $rango(A) = 2 \neq rango(A^*) = 3$. **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 1, 2, -3 \implies \text{SCD} \\ a = 1 \implies \text{SCI} \\ a = 2, -3 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 0$.** Si $a=0$, el sistema es un SCD según el apartado anterior. Sustituimos $a=0$ en el sistema original: $$\begin{cases} y + 2z = 1 \quad (1) \\ x + 2z = 0 \quad (2) \\ x + 2y = 1 \quad (3) \end{cases}$$ Podemos resolverlo por sustitución. De la ecuación (2) despejamos $x$: $$x = -2z$$ Sustituimos $x$ en la ecuación (3): $$-2z + 2y = 1 \implies 2y = 1 + 2z \implies y = \frac{1}{2} + z$$ Ahora sustituimos $y$ en la ecuación (1): $$(\frac{1}{2} + z) + 2z = 1 \implies \frac{1}{2} + 3z = 1$$ $$3z = 1 - \frac{1}{2} \implies 3z = \frac{1}{2} \implies z = \frac{1}{6}$$ Calculamos las demás incógnitas: $$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x = -2\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado (solución para a=0):** $$\boxed{x = -\frac{1}{3}, \quad y = \frac{2}{3}, \quad z = \frac{1}{6}}$$