Optimización de rutina de ejercicios

**¿Qué duración de cada tipo de ejercicios resulta más beneficiosa para su cliente en la rutina programada? ¿Y la menos beneficiosa?** En primer lugar, identificamos las variables del problema basándonos en los tiempos de ejercicio: - $x$: tiempo dedicado a ejercicios de **fuerza** (en minutos). - $y$: tiempo dedicado a ejercicios **cardiovasculares** (en minutos). El beneficio total se define según el enunciado: el beneficio de un minuto cardiovascular es el doble que uno de fuerza. Por tanto, la **función objetivo** a maximizar y minimizar es: $$f(x, y) = x + 2y$$ 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante en programación lineal. Asegúrate de que las unidades coincidan (en este caso, todas en minutos).

Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales: 1. Duración total entre 45 y 60 minutos: - $x + y \ge 45$ - $x + y \le 60$ 2. El tiempo de fuerza no puede superar al cardiovascular: - $x \le y$ (o lo que es lo mismo, $y - x \ge 0$) 3. El tiempo de fuerza debe ser de al menos 20 minutos: - $x \ge 20$ 4. Restricción implícita de tiempo no negativo (aunque $x \ge 20$ ya lo asegura): - $y \ge 0$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} x + y \ge 45 \\ x + y \le 60 \\ x \le y \\ x \ge 20 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre lee con cuidado palabras como "al menos" ($\ge$) o "no puede superar" ($\le$).

Para hallar la solución, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible (el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las condiciones). Las rectas de frontera son: - $r_1: x + y = 45$ - $r_2: x + y = 60$ - $r_3: y = x$ - $r_4: x = 20$ La región resultante es un cuadrilátero cuyos vértices calcularemos en el siguiente paso.

Resolvemos los sistemas de ecuaciones para encontrar los puntos de corte (vértices) de la región factible: - **Punto A:** Intersección de $x = 20$ y $x + y = 45$. $20 + y = 45 \implies y = 25$. **$A(20, 25)$** - **Punto B:** Intersección de $x = 20$ y $x + y = 60$. $20 + y = 60 \implies y = 40$. **$B(20, 40)$** - **Punto C:** Intersección de $y = x$ y $x + y = 60$. $x + x = 60 \implies 2x = 60 \implies x = 30, y = 30$. **$C(30, 30)$** - **Punto D:** Intersección de $y = x$ y $x + y = 45$. $x + x = 45 \implies 2x = 45 \implies x = 22.5, y = 22.5$. **$D(22.5, 22.5)$** 💡 **Tip:** Los vértices son los candidatos a ser el máximo o el mínimo de la función objetivo en un recinto cerrado y acotado.

Evaluamos $f(x, y) = x + 2y$ en cada vértice para determinar los valores extremos: - $f(20, 25) = 20 + 2(25) = 20 + 50 = 70$ - $f(20, 40) = 20 + 2(40) = 20 + 80 = 100$ - $f(30, 30) = 30 + 2(30) = 30 + 60 = 90$ - $f(22.5, 22.5) = 22.5 + 2(22.5) = 22.5 + 45 = 67.5$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **100**, que ocurre en el punto **(20, 40)**. - El valor mínimo es **67.5**, que ocurre en el punto **(22.5, 22.5)**. ✅ **Resultado final:** La rutina **más beneficiosa** consiste en **20 minutos de fuerza y 40 minutos de cardio**. La rutina **menos beneficiosa** consiste en **22.5 minutos de fuerza y 22.5 minutos de cardio**. $$\boxed{\text{Máx: (20, 40) | Mín: (22.5, 22.5)}}$$