Estudio de función racional: Dominio, asíntotas y monotonía

**a) Halle el dominio de la función y determine sus asíntotas.** Para hallar el dominio de la función $f(x) = x + \frac{2}{x}$, debemos identificar los valores de $x$ que hacen que la función no esté definida. En este caso, al ser una función racional, el denominador no puede ser cero. Igualamos el denominador a cero: $$x = 0$$ Por tanto, el dominio de la función son todos los números reales excepto el cero. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional es $\mathbb{R}$ menos los valores que anulan el denominador. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para buscar asíntotas verticales (AV), analizamos el comportamiento de la función en los puntos que no pertenecen al dominio, en este caso, $x = 0$. Calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 0^-} \left( x + \frac{2}{x} \right) = 0 + \frac{2}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^+} \left( x + \frac{2}{x} \right) = 0 + \frac{2}{0^+} = +\infty$$ Al ser los límites infinitos, existe una asíntota vertical en $x=0$. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{\text{AV: } x = 0}$$

**Asíntotas horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( x + \frac{2}{x} \right) = \pm\infty + 0 = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas (AO):** Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + \frac{2}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{2}{x^2} \right) = 1 + 0 = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( x + \frac{2}{x} - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x} = 0$$ La asíntota oblicua es $y = 1x + 0$, es decir, $y = x$. 💡 **Tip:** Si una función racional tiene el grado del numerador una unidad mayor que el del denominador, siempre tendrá asíntota oblicua. En este caso $x + 2/x = (x^2+2)/x$. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = 0, \quad \text{AH: No hay}, \quad \text{AO: } y = x}$$

**b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada de $f(x) = x + \frac{2}{x} = x + 2x^{-1}$: $$f'(x) = 1 + 2(-1)x^{-2} = 1 - \frac{2}{x^2}$$ Para operar más fácilmente, podemos expresar la derivada como una única fracción: $$f'(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 2}{x^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$$ Para determinar el crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos ($x = -\sqrt{2}$ y $x = \sqrt{2}$) y el punto donde la función no existe ($x = 0$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{2}) & -\sqrt{2} & (-\sqrt{2}, 0) & 0 & (0, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - En $(-\infty, -\sqrt{2})$, tomamos $x=-2$: $f'(-2) = ((-2)^2-2)/(-2)^2 = 2/4 > 0$ (**Creciente**). - En $(-\sqrt{2}, 0)$, tomamos $x=-1$: $f'(-1) = ((-1)^2-2)/(-1)^2 = -1/1 < 0$ (**Decreciente**). - En $(0, \sqrt{2})$, tomamos $x=1$: $f'(1) = (1^2-2)/1^2 = -1/1 < 0$ (**Decreciente**). - En $(\sqrt{2}, +\infty)$, tomamos $x=2$: $f'(2) = (2^2-2)/2^2 = 2/4 > 0$ (**Creciente**). 💡 **Tip:** No olvides incluir los puntos de discontinuidad (como $x=0$) al dividir la recta real para estudiar el signo de la derivada.

A partir de la tabla anterior, concluimos los intervalos de monotonía: La función es **creciente** en los intervalos donde $f'(x) \gt 0$: $$(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$$ La función es **decreciente** en los intervalos donde $f'(x) \lt 0$: $$(-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \quad \text{Decreciente: } (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})}$$