Probabilidad de selección en el Programa Ramón y Cajal

**a) Sea seleccionado para recibir una de las ayudas Ramón y Cajal.** Primero, definimos los sucesos del problema para organizar la información de forma clara: - $G$: El investigador pertenece a la modalidad **General**. - $J$: El investigador pertenece a la modalidad de **Jóvenes doctores**. - $S$: El investigador es **seleccionado**. - $\bar{S}$: El investigador **no es seleccionado**. Calculamos el número total de solicitudes: $$\text{Total} = 2159 + 1316 = 3475$$ Ahora determinamos las probabilidades iniciales: - $P(G) = \dfrac{2159}{3475} \approx 0,6213$ - $P(J) = \dfrac{1316}{3475} \approx 0,3787$ Las probabilidades condicionadas (porcentajes de selección) son: - $P(S|G) = 16,1\% = 0,161$ - $P(S|J) = 21,1\% = 0,211$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varias etapas o clasificaciones, es fundamental definir bien los sucesos y comprobar que la suma de las probabilidades de las ramas principales sea 1 ($0,6213 + 0,3787 = 1$).

Representamos la situación mediante un diagrama de árbol para visualizar todos los caminos posibles:

Para hallar la probabilidad de que un investigador sea seleccionado, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de $S$ es la suma de las probabilidades de ser seleccionado en cada modalidad: $$P(S) = P(G) \cdot P(S|G) + P(J) \cdot P(S|J)$$ Sustituimos los valores exactos para evitar errores de redondeo prematuros: $$P(S) = \frac{2159}{3475} \cdot 0,161 + \frac{1316}{3475} \cdot 0,211$$ $$P(S) = \frac{2159 \cdot 0,161 + 1316 \cdot 0,211}{3475} = \frac{347,599 + 277,676}{3475}$$ $$P(S) = \frac{625,275}{3475} \approx 0,179935$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(S) \approx 0,1799$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) \approx 0,1799}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes.

**b) La solicitud sea de la modalidad general, sabiendo que el investigador ha sido seleccionado.** Se nos pide la probabilidad de que la modalidad sea general dado que ya sabemos que ha sido seleccionado. Esto es una probabilidad condicionada $P(G|S)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(G|S) = \frac{P(G \cap S)}{P(S)} = \frac{P(G) \cdot P(S|G)}{P(S)}$$ Usamos los valores calculados anteriormente: - Numerador (Probabilidad de ser General y Seleccionado): $P(G \cap S) = \frac{347,599}{3475} \approx 0,100028$ - Denominador (Probabilidad total de ser seleccionado): $P(S) = \frac{625,275}{3475} \approx 0,179935$ Calculamos el cociente: $$P(G|S) = \frac{347,599 / 3475}{625,275 / 3475} = \frac{347,599}{625,275} \approx 0,555909$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(G|S) \approx 0,5559$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G|S) \approx 0,5559}$$ 💡 **Tip:** Bayes siempre se aplica cuando nos dan el resultado final (ha sido seleccionado) y nos preguntan por el origen o causa (era de la modalidad general).