Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtiene que su media muestral es de 50 kilómetros diarios. Determine un intervalo de confianza del 99 % para la distancia media recorrida diariamente por los autobuses urbanos.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como la distancia diaria recorrida por un autobús urbano (en km). El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 2)$$ Para el apartado a), disponemos de los siguientes datos muestrales: - Tamaño de la muestra: $n = 20$ - Media muestral: $\bar{x} = 50\text{ km}$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2\text{ km}$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente si la desviación típica es la de la población ($\sigma$) o la de la muestra ($s$) es fundamental. Aquí nos dan la poblacional $\sigma = 2$.

Para construir el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $99\%$. 1. Calculamos $\alpha$: $$1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$$ 2. Calculamos el área acumulada para buscar en la tabla de la Normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,005 = 0,9950$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar el valor más próximo a $0,9950$, encontramos que está entre $2,57$ y $2,58$. Habitualmente se toma el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central de la campana de Gauss. Los valores críticos más comunes son $1,645$ (90%), $1,96$ (95%) y $2,575$ (99%).

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,575 \cdot \frac{2}{\sqrt{20}}$$ $$E = 2,575 \cdot \frac{2}{4,4721} \approx 2,575 \cdot 0,4472 = 1,1515$$ Ahora aplicamos los límites al intervalo: - Límite inferior: $50 - 1,1515 = 48,8485$ - Límite superior: $50 + 1,1515 = 51,1515$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (48,8485; \, 51,1515)}$$

**b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que 1 kilómetro, con un nivel de confianza del 90 %.** Para este apartado, cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10$ - Error máximo permitido: $E \lt 1$ - Desviación típica: $\sigma = 2$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $90\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,10}{2} = 1 - 0,05 = 0,9500$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor que deja un área de $0,9500$, obtenemos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$

Utilizamos la fórmula del error máximo y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \lt 1$, por lo tanto: $$1,645 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \lt 1$$ $$\frac{3,29}{\sqrt{n}} \lt 1 \implies 3,29 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad: $$n \gt (3,29)^2$$ $$n \gt 10,8241$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor que el solicitado. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea muy bajo (como .01), siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que se cumple la restricción del error. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 11}$$