Ecuación matricial y dimensiones

**a) (2 puntos) Resuelva la siguiente ecuación $A \cdot B \cdot X \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.** En primer lugar, para simplificar la ecuación, vamos a calcular el producto de las matrices $A$ y $B$. Llamaremos a este resultado matriz $M$. $$M = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto (fila por columna): - Fila 1: $(1\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot (-1)) = -2$; $(1\cdot (-1) + (-1)\cdot 0 + 1\cdot 2) = 1$ - Fila 2: $((-2)\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot (-1)) = 1$; $((-2)\cdot (-1) + 1\cdot 0 + 0\cdot 2) = 2$ $$\boxed{M = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$ Llamando $I' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, la ecuación queda: $M \cdot X \cdot C = I'$.

Para despejar $X$ en la ecuación $M \cdot X \cdot C = I'$, debemos multiplicar por las inversas de $M$ (por la izquierda) y de $C$ (por la derecha): $$M^{-1} \cdot M \cdot X \cdot C \cdot C^{-1} = M^{-1} \cdot I' \cdot C^{-1}$$ $$I \cdot X \cdot I = M^{-1} \cdot I' \cdot C^{-1}$$ $$X = M^{-1} \cdot I' \cdot C^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el orden en el producto de matrices importa. Para eliminar una matriz que multiplica por la izquierda, su inversa debe entrar por la izquierda.

Calculamos $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. 1. Determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-2)(2) - (1)(1) = -4 - 1 = -5$$ 2. Matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$\boxed{M^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 \\ 1/5 & 2/5 \end{pmatrix}}$$

Calculamos $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^T$. 1. Determinante de $C$ por Sarrus: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 1) + (3\cdot 1\cdot 0) + (2\cdot 1\cdot 3) - (0\cdot 1\cdot 2) - (3\cdot 1\cdot 1) - (1\cdot 1\cdot 3)$$ $$|C| = 1 + 0 + 6 - 0 - 3 - 3 = 1$$ 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: - $C_{11} = 1-3 = -2$; $C_{12} = -(1-0) = -1$; $C_{13} = 3-0 = 3$ - $C_{21} = -(3-6) = 3$; $C_{22} = 1-0 = 1$; $C_{23} = -(3-0) = -3$ - $C_{31} = 3-2 = 1$; $C_{32} = -(1-2) = 1$; $C_{33} = 1-3 = -2$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{C^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero el producto $M^{-1} \cdot I'$: $$M^{-1} \cdot I' = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 \\ 1/5 & 2/5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 & 0 \\ 1/5 & 2/5 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $C^{-1}$ para obtener $X$: $$X = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 & 0 \\ 1/5 & 2/5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}$$ - Fila 1: $(-2/5)(-2) + (1/5)(-1) + 0 = 3/5$; $(-2/5)(3) + (1/5)(1) + 0 = -1$; $(-2/5)(1) + (1/5)(1) + 0 = -1/5$ - Fila 2: $(1/5)(-2) + (2/5)(-1) + 0 = -4/5$; $(1/5)(3) + (2/5)(1) + 0 = 1$; $(1/5)(1) + (2/5)(1) + 0 = 3/5$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3/5 & -1 & -1/5 \\ -4/5 & 1 & 3/5 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) Halle las dimensiones de las matrices $D$ y $E$ para que tenga sentido la igualdad $A \cdot D = E \cdot B$.** Analizamos las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ tiene dimensión $2 \times 3$. - $B$ tiene dimensión $3 \times 2$. Sea $D$ de dimensión $m \times n$ y $E$ de dimensión $p \times q$. 1. Para el producto $A \cdot D$: El número de columnas de $A$ (3) debe ser igual al de filas de $D$, luego **$m = 3$**. El resultado de $A \cdot D$ tendrá dimensión $2 \times n$. 2. Para el producto $E \cdot B$: El número de columnas de $E$ ($q$) debe ser igual al de filas de $B$ (3), luego **$q = 3$**. El resultado de $E \cdot B$ tendrá dimensión $p \times 2$. 3. Para la igualdad $A \cdot D = E \cdot B$: Ambas matrices resultantes deben tener la misma dimensión ($2 \times n = p \times 2$). Esto implica que **$p = 2$** y **$n = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que $M_{a \times b} \cdot N_{c \times d}$ exista, $b=c$ y el resultado es de dimensión $a \times d$. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{D \in \mathcal{M}_{3 \times 2} \quad \text{y} \quad E \in \mathcal{M}_{2 \times 3}}$$