Programación lineal: Minimización de costes de almacenaje

En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema basándonos en lo que nos preguntan: - $x$: número de bidones de pintura de **interior**. - $y$: número de bidones de pintura de **exterior**. El objetivo es minimizar el gasto diario total. Según el enunciado, el coste por cada bidón de interior es de $1.50\text{ €}$ y por cada bidón de exterior es de $0.90\text{ €}$. Por tanto, definimos la **función objetivo** como: $$f(x, y) = 1.50x + 0.90y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, la función objetivo siempre representa la cantidad que queremos hacer máxima (beneficios) o mínima (costes).

Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales: 1. **Capacidad máxima:** El total de bidones no puede superar los 160. $$x + y \le 160$$ 2. **Mínimo total:** Deben mantenerse al menos 60 bidones. $$x + y \ge 60$$ 3. **Mínimo de interior:** Al menos 20 bidones deben ser de pintura interior. $$x \ge 20$$ 4. **Relación exterior/interior:** El número de bidones de exterior ($y$) no puede ser inferior al de interior ($x$). $$y \ge x$$ 5. **No negatividad:** Aunque ya están implícitas en las anteriores, recordamos que el número de bidones no puede ser negativo. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones queda así: $$\begin{cases} x + y \le 160 \\ x + y \ge 60 \\ x \ge 20 \\ y \ge x \end{cases}$$ 💡 **Tip:** "No ser inferior a" significa que debe ser "mayor o igual que" ($\ge$).

Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada inecuación y sombreamos la zona común que cumple todas las condiciones. Los puntos de corte entre estas rectas serán los vértices de nuestra región. - **Recta $r_1$ ($x+y=160$):** Pasa por $(0, 160)$ y $(160, 0)$. - **Recta $r_2$ ($x+y=60$):** Pasa por $(0, 60)$ y $(60, 0)$. - **Recta $r_3$ ($x=20$):** Recta vertical que pasa por $x=20$. - **Recta $r_4$ ($y=x$):** Bisectriz del primer cuadrante (pasa por $(0,0), (50,50), \dots$). Calculamos los **vértices** resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas: - **Vértice A** (cruce de $x+y=60$ y $x=20$): $20 + y = 60 \implies y = 40 \implies \mathbf{A(20, 40)}$ - **Vértice B** (cruce de $x+y=60$ y $y=x$): $x + x = 60 \implies 2x = 60 \implies x = 30, y = 30 \implies \mathbf{B(30, 30)}$ - **Vértice C** (cruce de $x+y=160$ y $y=x$): $x + x = 160 \implies 2x = 160 \implies x = 80, y = 80 \implies \mathbf{C(80, 80)}$ - **Vértice D** (cruce de $x+y=160$ y $x=20$): $20 + y = 160 \implies y = 140 \implies \mathbf{D(20, 140)}$

Para encontrar el gasto mínimo, evaluamos la función $f(x, y) = 1.50x + 0.90y$ en cada uno de los vértices hallados: - En **A(20, 40)**: $f(20, 40) = 1.50(20) + 0.90(40) = 30 + 36 = 66\text{ €}$ - En **B(30, 30)**: $f(30, 30) = 1.50(30) + 0.90(30) = 45 + 27 = 72\text{ €}$ - En **C(80, 80)**: $f(80, 80) = 1.50(80) + 0.90(80) = 120 + 72 = 192\text{ €}$ - En **D(20, 140)**: $f(20, 140) = 1.50(20) + 0.90(140) = 30 + 126 = 156\text{ €}$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal nos asegura que el óptimo (máximo o mínimo) se encuentra siempre en uno de los vértices de la región factible o en un segmento que los une.

Al comparar los valores obtenidos, observamos que el valor más bajo corresponde al vértice $A(20, 40)$. Por tanto, para que el gasto sea mínimo, se deben almacenar: - **20 bidones de pintura de interior.** - **40 bidones de pintura de exterior.** El gasto diario mínimo supone un total de: $$\boxed{66\text{ €}}$$