Análisis de la evolución de una población: Integrales y problemas de contexto

**a) (1.25 puntos) ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?** Conocemos la función de crecimiento (la derivada) $f'(t) = 400 + 30\sqrt{t}$. Para hallar la función de población $f(t)$, debemos calcular la integral indefinida de $f'(t)$: $$f(t) = \int (400 + 30\sqrt{t}) \, dt$$ Expresamos la raíz como una potencia para facilitar la integración ($ \sqrt{t} = t^{1/2} $): $$f(t) = \int (400 + 30t^{1/2}) \, dt = 400t + 30 \cdot \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C$$ $$f(t) = 400t + 30 \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = 400t + 30 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C$$ $$f(t) = 400t + 20t\sqrt{t} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una potencia es $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. No olvides nunca sumar la constante de integración $C$.

Para hallar el valor de $C$, utilizamos el dato de la población inicial ($t=0$): $$f(0) = 90000 \implies 400(0) + 20(0)\sqrt{0} + C = 90000 \implies C = 90000$$ La función de población es: $$f(t) = 400t + 20t\sqrt{t} + 90000$$ Ahora, calculamos la población para $t = 9$ meses: $$f(9) = 400(9) + 20(9)\sqrt{9} + 90000$$ $$f(9) = 3600 + 180 \cdot 3 + 90000 = 3600 + 540 + 90000 = 94140$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{94140 \text{ habitantes}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule $\int_{9}^{16} f'(t) dt$ e interprete el resultado.** Utilizamos la Regla de Barrow. Ya conocemos la primitiva $F(t) = 400t + 20t\sqrt{t}$ del apartado anterior: $$\int_{9}^{16} (400 + 30\sqrt{t}) \, dt = [400t + 20t\sqrt{t}]_{9}^{16}$$ Evaluamos en los límites de integración: - Para $t = 16$: $400(16) + 20(16)\sqrt{16} = 6400 + 320 \cdot 4 = 6400 + 1280 = 7680$ - Para $t = 9$: $400(9) + 20(9)\sqrt{9} = 3600 + 180 \cdot 3 = 3600 + 540 = 4140$ Restamos los valores: $$7680 - 4140 = 3540$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f'(x) dx = f(b) - f(a)$.

El valor obtenido, **3540**, representa el incremento neto de la población entre el mes 9 y el mes 16. Es decir, en ese periodo de tiempo, la localidad ha ganado **3540 habitantes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3540 \text{ habitantes de incremento}}$$

**c) (0.5 puntos) Si se entrega una ayuda de 150 € por cada nuevo habitante durante los tres primeros años, calcule la cuantía total aproximada de la ayuda que recibirá la localidad.** Primero, calculamos cuántos habitantes nuevos hay en los 3 primeros años ($3 \times 12 = 36$ meses). Esto equivale a calcular el incremento de población desde $t=0$ hasta $t=36$: $$\Delta P = \int_{0}^{36} f'(t) \, dt = f(36) - f(0)$$ Calculamos $f(36)$ (usando la función sin la constante $C$ inicial o simplemente la diferencia): $$f(36) - f(0) = 400(36) + 20(36)\sqrt{36} = 14400 + 720 \cdot 6 = 14400 + 4320 = 18720$$ Hay **18720 nuevos habitantes** en los 3 primeros años. Finalmente, calculamos la ayuda multiplicando por 150 €: $$\text{Ayuda} = 18720 \cdot 150 = 2808000 \text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2.808.000 \text{ €}}$$