Continuidad, derivabilidad, recta tangente e integrales definidas

**a) (1 punto) Determine el valor de $a$ para que la función $f$ sea continua en $\mathbb{R}$. Para ese valor de $a$, ¿es $f$ derivable?** La función $f(x)$ está definida a trozos por funciones continuas en sus respectivos dominios (una exponencial y un polinomio). El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el salto entre ramas, $x = 1$. Para que sea continua en $x=1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3 + e^x) = 3 + e^1 = 3 + e$ 2. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + ax + 2) = 1^2 + a(1) + 2 = 3 + a$ 3. $f(1) = 1^2 + a(1) + 2 = 3 + a$ Igualamos los límites: $$3 + e = 3 + a \implies a = e$$ 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto $x=c$, se debe cumplir que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = e}$$

Para $a = e$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} 3 + e^x & \text{si } x \lt 1 \\ x^2 + ex + 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \lt 1 \\ 2x + e & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Estudiamos las derivadas laterales en $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $f'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} e^x = e^1 = e$ - Derivada por la derecha: $f'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} (2x + e) = 2(1) + e = 2 + e$ Como $f'_{-}(1) \neq f'_{+}(1)$ (ya que $e \neq 2 + e$), ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función no es derivable en } x = 1}$$

**b) (0.5 puntos) Para $a = -3$, calcule la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Como $x = 0$ está en el intervalo $x \lt 1$, usamos la primera rama: $f(x) = 3 + e^x$. 1. Hallamos el punto de tangencia $(0, f(0))$: $$f(0) = 3 + e^0 = 3 + 1 = 4$$ 2. Hallamos la pendiente de la tangente $m = f'(0)$: $$f'(x) = e^x \implies f'(0) = e^0 = 1$$ 3. Aplicamos la fórmula punto-pendiente $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$: $$y - 4 = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x + 4$$ 💡 **Tip:** La recta tangente es la mejor aproximación lineal de una función en un punto específico. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x + 4}$$

**c) (1 punto) Para $a = -3$, represente la región limitada por la gráfica de $f$, las rectas $x = 2$, $x = 4$ y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.** Para $a = -3$, la función en el intervalo $[2, 4]$ corresponde a la segunda rama: $$f(x) = x^2 - 3x + 2$$ Analizamos el signo de la función en $[2, 4]$ para ver si cruza el eje $X$. Resolvemos $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 2$$ La función vale 0 en $x=2$ y es positiva en el intervalo $(2, 4]$. Por tanto, la región queda por encima del eje de abscisas.

El área viene dada por la integral definida en el intervalo solicitado: $$A = \int_{2}^{4} (x^2 - 3x + 2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \int (x^2 - 3x + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{2}^{4}$$ $$A = F(4) - F(2)$$ Evaluamos en los límites: $$F(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{3(4^2)}{2} + 2(4) = \frac{64}{3} - 24 + 8 = \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3}$$ $$F(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} + 2(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8 - 6}{3} = \frac{2}{3}$$ Restamos los valores: $$A = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Si la función hubiera cambiado de signo en el intervalo, habríamos tenido que dividir la integral en dos partes usando el valor absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{14}{3} \text{ u}^2}$$