Probabilidad: Tallas de ropa y género de clientes

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales: - $M$: El cliente es mujer. - $H$: El cliente es hombre. - $T_M$: El cliente usa la talla $M$. - $T_L$: El cliente usa la talla $L$. - $T_{XL}$: El cliente usa la talla $XL$. Datos del enunciado: - $P(M) = 0.65 \implies P(H) = 1 - 0.65 = 0.35$. - Mujeres: $P(T_M | M) = 0.50$, $P(T_{XL} | M) = 0.10$. Por tanto, $P(T_L | M) = 1 - 0.50 - 0.10 = 0.40$. - Hombres: $P(T_L | H) = 0.40$, $P(T_{XL} | H) = 0.45$. Por tanto, $P(T_M | H) = 1 - 0.40 - 0.45 = 0.15$. Representamos la información en un **árbol de probabilidad**: 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen debe ser siempre $1$.

**a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla $XL$?** Nos piden la probabilidad de que un cliente no use la talla $XL$ sabiendo que es mujer, es decir, $P(\overline{T_{XL}} | M)$. Utilizamos la propiedad del suceso contrario: $$P(\overline{T_{XL}} | M) = 1 - P(T_{XL} | M)$$ Sustituimos el valor dado en el enunciado: $$P(\overline{T_{XL}} | M) = 1 - 0.10 = 0.90$$ Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.90 \cdot 100 = 90\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{90\%}$$

**b) (0.75 puntos) Halle el porcentaje de clientes que no usan la talla $L$.** Primero calculamos la probabilidad de que un cliente cualquiera use la talla $L$, $P(T_L)$, utilizando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(T_L) = P(M) \cdot P(T_L | M) + P(H) \cdot P(T_L | H)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(T_L) = (0.65 \cdot 0.40) + (0.35 \cdot 0.40)$$ $$P(T_L) = 0.26 + 0.14 = 0.40$$ Ahora, calculamos la probabilidad del suceso contrario (no usar la talla $L$): $$P(\overline{T_L}) = 1 - P(T_L) = 1 - 0.40 = 0.60$$ Convertimos a porcentaje: $$0.60 \cdot 100 = 60\%$$ 💡 **Tip:** Si la probabilidad condicionada de un suceso es la misma para todos los grupos (aquí $P(T_L|M) = P(T_L|H) = 0.40$), la probabilidad total coincidirá con ese valor independientemente de la proporción de hombres y mujeres. ✅ **Resultado:** $$\boxed{60\%}$$

**c) (0.75 puntos) De los clientes que usan la talla $M$, ¿qué porcentaje son mujeres?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos hallar $P(M | T_M)$: $$P(M | T_M) = \frac{P(M \cap T_M)}{P(T_M)} = \frac{P(M) \cdot P(T_M | M)}{P(T_M)}$$ Calculamos primero el denominador $P(T_M)$ (probabilidad total de talla $M$): $$P(T_M) = P(M) \cdot P(T_M | M) + P(H) \cdot P(T_M | H)$$ $$P(T_M) = (0.65 \cdot 0.50) + (0.35 \cdot 0.15) = 0.325 + 0.0525 = 0.3775$$ Ahora aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(M | T_M) = \frac{0.65 \cdot 0.50}{0.3775} = \frac{0.325}{0.3775} \approx 0.8609$$ En porcentaje: $$0.8609 \cdot 100 = 86.09\%$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (usa talla M) y queremos saber la probabilidad de la causa (que sea mujer). ✅ **Resultado:** $$\boxed{86.09\%}$$