Probabilidades de aprobación en asignaturas

Primero, definimos los sucesos del enunciado: - $A$: El estudiante aprueba la asignatura $A$. - $B$: El estudiante aprueba la asignatura $B$. Los datos proporcionados son: - $P(A) = 0.75$ - $P(B) = 0.55$ - $P(A \cap B) = 0.35$ (aprueba ambas) Para facilitar los cálculos de los apartados, utilizaremos una **tabla de contingencia** (o de doble entrada). Completamos los valores restando los totales: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.35 & 0.40 & 0.75 \\ \bar{A} & 0.20 & 0.05 & 0.25 \\ \hline \text{Total} & 0.55 & 0.45 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, los valores internos deben sumar los totales de las filas y columnas. Por ejemplo: $P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(A) \implies 0.35 + 0.40 = 0.75$.

**a) (1 punto) No apruebe $B$ sabiendo que ha aprobado $A$.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(\bar{B} | A)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(\bar{B} | A) = \frac{P(\bar{B} \cap A)}{P(A)}$$ De la tabla anterior (o restando $P(A) - P(A \cap B)$), sabemos que: - $P(A \cap \bar{B}) = 0.40$ - $P(A) = 0.75$ Sustituimos: $$P(\bar{B} | A) = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15} \approx 0.5333$$ 💡 **Tip:** El suceso "sabiendo que ha aprobado A" restringe nuestro espacio muestral únicamente a los que están en $A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{B} | A) \approx 0.5333}$$

**b) (0.25 puntos) Aprueba alguna de estas asignaturas.** El término "alguna" hace referencia a la unión de los sucesos ($A \cup B$), es decir, aprueba $A$, aprueba $B$ o aprueba ambas. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los datos conocidos: $$P(A \cup B) = 0.75 + 0.55 - 0.35 = 0.95$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.95}$$

**c) (0.5 puntos) No apruebe ni $A$ ni $B$.** Buscamos la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$, es decir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. Podemos obtenerlo de dos formas: 1. Directamente de nuestra tabla de contingencia: **$0.05$**. 2. Usando las **Leyes de De Morgan**: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$$ Como calculamos en el apartado anterior que $P(A \cup B) = 0.95$: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.95 = 0.05$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: el suceso "ni uno ni otro" es el contrario de "al menos uno". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.05}$$

**d) (0.5 puntos) Haya aprobado $A$ si se sabe que ha aprobado alguna de estas dos asignaturas.** Se pide $P(A | A \cup B)$. Aplicamos de nuevo la definición de probabilidad condicionada: $$P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$$ Como el suceso $A$ está contenido dentro de $A \cup B$, la intersección $A \cap (A \cup B)$ es simplemente el suceso $A$. Por tanto: $$P(A | A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A \cup B)}$$ Sustituimos los valores calculados: $$P(A | A \cup B) = \frac{0.75}{0.95} = \frac{75}{95} = \frac{15}{19} \approx 0.7895$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | A \cup B) \approx 0.7895}$$

**e) (0.25 puntos) Estudie si los sucesos “aprobar $A$” y “aprobar $B$” son independientes.** Dos sucesos son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.75 \cdot 0.55 = 0.4125$$ Comparamos con el valor de la intersección dado en el enunciado: $$P(A \cap B) = 0.35$$ Como $0.35 \neq 0.4125$, concluimos que la igualdad no se cumple. 💡 **Tip:** Si el hecho de que ocurra $A$ modifica la probabilidad de que ocurra $B$, entonces son dependientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos A y B son dependientes (no independientes)}}$$