Intervalo de confianza y tamaño muestral para proporciones

**a) (1.25 puntos) Para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía, se realiza una encuesta a 2000 universitarias andaluzas elegidas al azar y se obtiene que 710 de ellas están matriculadas en carreras STEM. Con un nivel de confianza del 96.5%, calcule un intervalo de confianza para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el apartado a): - Tamaño de la muestra: $n = 2000$ - Número de éxitos (mujeres en STEM): $x = 710$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.965$ (es decir, el $96.5\%$) Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{710}{2000} = 0.355$$ Por tanto, la proporción complementaria $\hat{q}$ es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.355 = 0.645$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es nuestro mejor estimador puntual de la proporción poblacional $p$.

Para un nivel de confianza del $96.5\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.965 \implies \alpha = 1 - 0.965 = 0.035$ 2. $\alpha/2 = \frac{0.035}{2} = 0.0175$ 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0175 = 0.9825$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9825$ es exactamente: $$z_{\alpha/2} = 2.11$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el valor exacto no aparece en la tabla, debes tomar el más cercano o realizar una interpolación si es necesario.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.11 \cdot \sqrt{\frac{0.355 \cdot 0.645}{2000}} = 2.11 \cdot \sqrt{\frac{0.228975}{2000}}$$ $$E = 2.11 \cdot \sqrt{0.0001144875} \approx 2.11 \cdot 0.0107 = 0.022577$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.355 - 0.0226 = 0.3324$ - Límite superior: $0.355 + 0.0226 = 0.3776$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.3324, \, 0.3776)}$$

**b) (1.25 puntos) En otra comunidad autónoma, al seleccionar una muestra de universitarias, se observa que el porcentaje de mujeres matriculadas en carreras STEM es del 37%. Con un nivel de confianza del 98%, calcule el tamaño mínimo de esa nueva muestra para que el error máximo cometido sea del 1.5%.** Identificamos los nuevos datos: - Proporción poblacional estimada (de una muestra previa): $p = 0.37 \implies q = 0.63$ - Error máximo permitido: $E = 1.5\% = 0.015$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha/2 = 0.01$ 2. $1 - \alpha/2 = 0.99$ 3. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99$ En la tabla normal, para $0.99$ obtenemos: $$z_{\alpha/2} \approx 2.33$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de pasar el porcentaje de error a número decimal ($1.5\% = 0.015$) para evitar errores de cálculo.

La fórmula para el tamaño de la muestra $n$ a partir del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot p \cdot q$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.33}{0.015} \right)^2 \cdot 0.37 \cdot 0.63$$ $$n = (155.333...)^2 \cdot 0.2331 = 24128.444... \cdot 0.2331 \approx 5624.34$$ Como buscamos el tamaño mínimo para que el error sea **como máximo** del $1.5\%$, siempre debemos redondear al siguiente número entero hacia arriba. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 5625 \text{ universitarias}}$$