Inferencia estadística y distribución normal

**a) (1 punto) Se toma una muestra aleatoria de hipotecas en dicha ciudad y se obtiene que el intervalo de confianza al 95% para la media de las cuotas mensuales es (517.65 , 551.95). Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.** Sabemos que el intervalo de confianza para la media de una población normal es de la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $\bar{x}$ es la media muestral y $E$ es el error máximo admisible. La media muestral $\bar{x}$ es siempre el punto medio del intervalo de confianza. Por tanto, la calculamos sumando los extremos y dividiendo entre 2: $$\bar{x} = \frac{517.65 + 551.95}{2} = \frac{1069.6}{2} = 534.8$$ 💡 **Tip:** El centro del intervalo de confianza siempre coincide con la media de la muestra. $$\boxed{\bar{x} = 534.8 \text{ €}}$$

Para hallar el tamaño de la muestra $n$, primero identificamos el error $E$ y el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95\%$. 1. **Error ($E$):** Es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{551.95 - 517.65}{2} = \frac{34.3}{2} = 17.15$$ 2. **Valor crítico ($z_{\alpha/2}$):** Para un nivel de confianza del $95\%$ ($1-\alpha = 0.95$), el valor crítico es un valor estándar: $$1-\alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$ 3. **Fórmula del error:** $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores conocidos ($\sigma = 140$): $$17.15 = 1.96 \cdot \frac{140}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 140}{17.15} = \frac{274.4}{17.15} = 16$$ $$n = 16^2 = 256$$ 💡 **Tip:** Si el resultado de $n$ no fuera entero, siempre redondearíamos al siguiente entero superior para garantizar el nivel de confianza. $$\boxed{n = 256}$$

**b) (0.5 puntos) Escogida otra muestra de 78 hipotecas en esa ciudad y con un nivel de confianza del 97%, calcule el error máximo cometido para estimar la cuota mensual media.** Datos: - Tamaño de la muestra: $n = 78$ - Desviación típica: $\sigma = 140$ - Confianza: $97\% \implies 1-\alpha = 0.97$ 1. **Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:** $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Mirando en la tabla de la Normal $N(0,1)$, el valor de probabilidad $0.985$ corresponde a $z_{\alpha/2} = 2.17$. 2. **Calculamos el error:** $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{140}{\sqrt{78}}$$ $$E = \frac{303.8}{8.8317} \approx 34.398$$ 💡 **Tip:** Cuanto mayor es el nivel de confianza, mayor es el valor crítico y, por tanto, mayor es el error cometido. $$\boxed{E \approx 34.40 \text{ €}}$$

**c) (1 punto) Si en otra ciudad la cuota mensual de las hipotecas sigue una distribución Normal de media 540 € y desviación típica de 150 € , calcule la probabilidad de que la cuota de una hipoteca elegida al azar en dicha ciudad esté comprendida entre 600 y 700 euros.** Sea $X$ la variable aleatoria "cuota mensual", donde $X \sim N(540, 150)$. Queremos calcular $P(600 \le X \le 700)$. 1. **Tipificamos la variable** usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: Para $X = 600 \implies z_1 = \frac{600 - 540}{150} = \frac{60}{150} = 0.4$ Para $X = 700 \implies z_2 = \frac{700 - 540}{150} = \frac{160}{150} \approx 1.07$ 2. **Calculamos la probabilidad:** $$P(600 \le X \le 700) = P(0.4 \le Z \le 1.07)$$ $$P(0.4 \le Z \le 1.07) = P(Z \le 1.07) - P(Z \le 0.4)$$ 3. **Buscamos en la tabla $N(0,1)$:** $P(Z \le 1.07) = 0.8577$ $P(Z \le 0.4) = 0.6554$ 4. **Operamos:** $$0.8577 - 0.6554 = 0.2023$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el área entre dos valores $a$ y $b$, siempre hacemos $P(Z \le b) - P(Z \le a)$. $$\boxed{P(600 \le X \le 700) = 0.2023}$$