Ecuaciones matriciales, potencias y dimensiones

**a) (1 punto) Determine las matrices $X$ e $Y$ que satisfacen simultáneamente las ecuaciones $2 \cdot X - Y = 4 \cdot A$ y $X + Y = B$.** Para resolver este sistema, podemos utilizar el método de reducción (suma y resta), tratándolas como si fueran ecuaciones lineales normales. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la matriz $Y$: $$(2X - Y) + (X + Y) = 4A + B$$ $$3X = 4A + B$$ Primero calculamos la matriz $4A$: $$4A = 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos $4A$ y $B$: $$3X = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$$ Para hallar $X$, dividimos todos los elementos entre 3: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Las operaciones con matrices (suma y producto por un escalar) se realizan elemento a elemento. El método de reducción es muy útil en sistemas matriciales. ✅ **Resultado parcial (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}}$$

Una vez hallada $X$, despejamos $Y$ de la segunda ecuación original: $$X + Y = B \implies Y = B - X$$ Sustituimos las matrices $B$ y $X$: $$Y = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & 2-2 \\ 2-2 & 0-0 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la matriz $C^{2024}$.** Para calcular una potencia elevada, buscamos una regla o patrón calculando las primeras potencias de $C$. $C^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ Calculamos $C^2$: $$C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $C^3$: $$C^3 = C^2 \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En potencias de matrices, si observas que un elemento varía de forma aritmética (1, 2, 3...), la potencia n-ésima suele seguir ese patrón.

Observamos que el elemento de la fila 2, columna 1 coincide con el exponente de la potencia, mientras que el resto de elementos permanecen constantes. Por inducción, podemos afirmar que la potencia $n$-ésima es: $$C^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}$$ Para el caso particular $n = 2024$: $$C^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2024 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{C^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2024 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.75 puntos) Si $D$ es una matriz de dimensión $2 \times 3$, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar...** Sabemos que $A$ y $B$ son matrices $2 \times 2$ y $D$ es $2 \times 3$. **Operación 1: $A^t \cdot B + D \cdot D^t$** 1. **$A^t \cdot B$**: $A^t$ es $2 \times 2$ y $B$ es $2 \times 2$. Como el número de columnas de $A^t$ (2) coincide con el de filas de $B$ (2), se puede multiplicar. El resultado es una matriz **$2 \times 2$**. 2. **$D \cdot D^t$**: $D$ es $2 \times 3$ y $D^t$ es $3 \times 2$. Como el número de columnas de $D$ (3) coincide con el de filas de $D^t$ (3), se puede multiplicar. El resultado es una matriz **$2 \times 2$**. 3. **Suma**: Ambas partes son $2 \times 2$, por lo que la suma es posible. ✅ **Resultado:** La operación **sí es posible** y la dimensión resultante es **$2 \times 2$**.

**Operación 2: $D \cdot B^t + A$** 1. **$D \cdot B^t$**: $D$ es $2 \times 3$ y $B^t$ es $2 \times 2$. - Para que el producto sea posible, el número de columnas de la primera ($D$, que tiene 3) debe ser igual al número de filas de la segunda ($B^t$, que tiene 2). - Dado que $3 \neq 2$, **el producto no se puede realizar**. 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices $M_{m \times n}$ y $N_{p \times q}$, debe cumplirse obligatoriamente que $n = p$. ✅ **Resultado:** La operación **no es posible**.

**Operación 3: $D^t \cdot A^t + D$** 1. **$D^t \cdot A^t$**: $D^t$ es $3 \times 2$ y $A^t$ es $2 \times 2$. El producto es posible porque el número de columnas de $D^t$ (2) es igual al de filas de $A^t$ (2). El resultado es una matriz de dimensión **$3 \times 2$**. 2. **Suma con $D$**: El resultado anterior ($3 \times 2$) debe sumarse con $D$, que es **$2 \times 3$**. - Para sumar dos matrices, estas deben tener exactamente las mismas dimensiones. - Como $(3 \times 2) \neq (2 \times 3)$, la suma no es posible. ✅ **Resultado:** La operación **no es posible**.