Optimización de la producción de joyas

**(2.5 puntos) Un joyero desea fabricar dos tipos de pulseras, $A$ y $B$, y para ello dispone de 50 g de oro, 40 g de platino y 25 g de plata... ¿cuántas pulseras de cada tipo debe fabricar para maximizar los ingresos y a cuánto ascienden éstos? ¿Qué cantidad de cada metal sobrará?** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: - $x$: número de pulseras del tipo $A$ a fabricar. - $y$: número de pulseras del tipo $B$ a fabricar. La **función objetivo** representa el ingreso total que queremos maximizar. Como cada pulsera $A$ se vende a 150 € y cada $B$ a 200 €: $$f(x, y) = 150x + 200y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las unidades de las variables (en este caso, unidades físicas de pulseras) y asegúrate de que la función objetivo recoja el beneficio o ingreso por unidad.

Traducimos las limitaciones de materiales a desigualdades matemáticas (restricciones). Podemos organizar los datos en una tabla para mayor claridad: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Material} & \text{Tipo A (x)} & \text{Tipo B (y)} & \text{Disponibilidad} \\ \hline \text{Oro} & 1 & 2 & 50 \\ \hline \text{Platino} & 2 & 1 & 40 \\ \hline \text{Plata} & 0 & 1 & 25 \\ \hline \end{array}$$ Las restricciones son: 1. **Oro:** $x + 2y \le 50$ 2. **Platino:** $2x + y \le 40$ 3. **Plata:** $y \le 25$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden fabricar pulseras negativas). 💡 **Tip:** Las restricciones de "no negatividad" son fundamentales en problemas de producción aunque el enunciado no las mencione explícitamente.

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: - $r_1: x + 2y = 50 \implies$ pasa por $(0, 25)$ y $(50, 0)$. - $r_2: 2x + y = 40 \implies$ pasa por $(0, 40)$ y $(20, 0)$. - $r_3: y = 25 \implies$ es una recta horizontal. La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las inecuaciones simultáneamente.

Los vértices de la región factible son los puntos de intersección de las rectas: - **A (Origen):** $(0, 0)$. - **B (Eje X):** Intersección de $2x+y=40$ con $y=0 \implies 2x=40 \implies x=20$. Punto **$(20, 0)$**. - **C (Intersección):** Resolvemos el sistema entre $x+2y=50$ y $2x+y=40$: De la primera: $x = 50 - 2y$. Sustituimos en la segunda: $2(50-2y) + y = 40 \implies 100 - 4y + y = 40 \implies -3y = -60 \implies y = 20$. Sustituyendo $y$: $x = 50 - 2(20) = 10$. Punto **$(10, 20)$**. - **D (Intersección):** Intersección de $x+2y=50$ con $y=25 \implies x+50=50 \implies x=0$. Punto **$(0, 25)$**. 💡 **Tip:** Los vértices son los candidatos a ser la solución óptima según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

Calculamos el valor de $f(x, y) = 150x + 200y$ en cada vértice: - $f(0, 0) = 150(0) + 200(0) = 0$ € - $f(20, 0) = 150(20) + 200(0) = 3000$ € - $f(10, 20) = 150(10) + 200(20) = 1500 + 4000 = 5500$ € - $f(0, 25) = 150(0) + 200(25) = 5000$ € El valor máximo es **5500 €**, que se alcanza fabricando **10 pulseras tipo A y 20 tipo B**. ✅ **Resultado (Ingresos):** $$\boxed{\text{Máximo beneficio: 5500 € fabricando 10 pulseras A y 20 pulseras B}}$$

Para saber cuánto material sobra, calculamos cuánto se ha gastado con la producción óptima $(x=10, y=20)$: - **Oro utilizado:** $1(10) + 2(20) = 10 + 40 = 50$ g. Sobra: $50 - 50 = 0$ g. - **Platino utilizado:** $2(10) + 1(20) = 20 + 20 = 40$ g. Sobra: $40 - 40 = 0$ g. - **Plata utilizada:** $0(10) + 1(20) = 20$ g. Sobra: $25 - 20 = 5$ g. ✅ **Resultado (Sobras):** $$\boxed{\text{Sobran 0 g de oro, 0 g de platino y 5 g de plata}}$$