Continuidad, derivabilidad y área de funciones a trozos

**a) (1.5 puntos) Determine los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de $f$.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debe serlo en los puntos donde cambia de rama: $x=1$ y $x=3$. **Continuidad en $x=1$:** Deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 + ax - 1) = 1^2 + a(1) - 1 = a$ 2. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{b}{x} = \frac{b}{1} = b$ 3. $f(1) = 1^2 + a(1) - 1 = a$ Para que sea continua en $x=1$: $$a = b$$ **Continuidad en $x=3$:** 1. $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{b}{x} = \frac{b}{3}$ 2. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x-1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$ 3. $f(3) = \frac{b}{3}$ Para que sea continua en $x=3$: $$\frac{b}{3} = \frac{2}{3} \implies b = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función es continua en un punto si existe el límite, existe la función y ambos coinciden. En funciones a trozos, esto nos obliga a igualar los límites por la izquierda y por la derecha.

Sustituimos el valor de $b$ obtenido en la primera condición: Como $b = 2$ y teníamos que $a = b$, entonces: $$a = 2$$ Por tanto, la función es continua en $\mathbb{R}$ si: $$\boxed{a = 2, \quad b = 2}$$

Para $a=2$ y $b=2$, la función es: $$f(x)=\begin{cases} x^2 + 2x - 1 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{2}{x} & \text{si } 1 < x \le 3 \\ \frac{x-1}{3} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ Calculamos la derivada en los intervalos abiertos: $$f'(x)=\begin{cases} 2x + 2 & \text{si } x < 1 \\ -\frac{2}{x^2} & \text{si } 1 < x < 3 \\ \frac{1}{3} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ Estudiamos la derivabilidad en los puntos de unión comparando las derivadas laterales: **En $x=1$:** - $f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$ - $f'(1^+) = -\frac{2}{1^2} = -2$ Como $4 \neq -2$, **no es derivable en $x=1$**. **En $x=3$:** - $f'(3^-) = -\frac{2}{3^2} = -\frac{2}{9}$ - $f'(3^+) = \frac{1}{3}$ Como $-\frac{2}{9} \neq \frac{1}{3}$, **no es derivable en $x=3$**. 💡 **Tip:** Para estudiar la derivabilidad, primero asegúrate de que la función es continua. Si lo es, deriva las ramas y comprueba si los límites laterales de la derivada coinciden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}}$$

**b) (1 punto) Para $a = 5$ y $b = 2$, represente el recinto limitado por la gráfica de $f$, las rectas $x = 2$, $x = 4$ y el eje OX. Calcule su área.** Con $a=5$ y $b=2$, nos interesan los tramos entre $x=2$ y $x=4$: 1. Si $2 \le x \le 3$, la función es $f(x) = \frac{2}{x}$. 2. Si $3 < x \le 4$, la función es $f(x) = \frac{x-1}{3}$. El área total será la suma de dos integrales definidas, ya que la función cambia de expresión en $x=3$: $$A = \int_{2}^{3} \frac{2}{x} \, dx + \int_{3}^{4} \frac{x-1}{3} \, dx$$

Calculamos cada parte por separado usando la regla de Barrow: **Primera parte ($I_1$):** $$\int_{2}^{3} \frac{2}{x} \, dx = [2 \ln|x|]_2^3 = 2 \ln(3) - 2 \ln(2) = 2 \ln\left(\frac{3}{2}\right) \approx 0.8109$$ **Segunda parte ($I_2$):** $$\int_{3}^{4} \frac{x-1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_3^4 = \frac{1}{3} \left[ \left(\frac{4^2}{2} - 4\right) - \left(\frac{3^2}{2} - 3\right) \right]$$ $$= \frac{1}{3} \left[ (8 - 4) - (4.5 - 3) \right] = \frac{1}{3} [ 4 - 1.5 ] = \frac{1}{3} \cdot 2.5 = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$$ **Área total:** $$A = 2 \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{5}{6} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Al integrar funciones racionales simples como $1/x$, el resultado es el logaritmo neperiano del valor absoluto. No olvides sumar las áreas de cada recinto si la función cambia de rama en el intervalo de integración. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 2 \ln(1.5) + \frac{5}{6} \approx 1.644 \text{ u}^2}$$