Estudio de función a trozos e integral definida

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de $f$. Represente gráficamente dicha función.** Primero, analizamos el dominio y la continuidad de cada rama: - La primera rama, $f_1(x) = -\frac{1}{2} x^2 + x + 1$, es una función polinómica, por lo que es continua en todo su intervalo $(-\infty, 2]$. - La segunda rama, $f_2(x) = \frac{1}{x-1}$, es una función racional cuyo denominador se anula en $x = 1$. Sin embargo, como esta rama solo está definida para $x > 2$, el punto $x = 1$ no pertenece a su dominio. Por tanto, es continua en $(2, +\infty)$. Estudiamos el punto de salto entre ramas en $x = 2$: 1. $f(2) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$ 2. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-\frac{1}{2} x^2 + x + 1) = 1$ 3. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1$ Como $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función y los límites laterales deben coincidir. $$\boxed{\text{f es continua en } \mathbb{R}}$$

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{si } x < 2 \\ -\frac{1}{(x-1)^2} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Comprobamos si las derivadas laterales coinciden en el punto de salto $x = 2$: - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = -2 + 1 = -1$ - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = -\frac{1}{(2-1)^2} = -1$ Como $f'(2^-) = f'(2^+) = -1$, la función es **derivable en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la derivabilidad en un punto de salto, primero debemos asegurar que la función sea continua en dicho punto. $$\boxed{\text{f es derivable en } \mathbb{R} \text{ con } f'(2) = -1}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: - En la primera rama ($x < 2$): $-x + 1 = 0 \implies x = 1$. - En la segunda rama ($x > 2$): $-\frac{1}{(x-1)^2} = 0$, que no tiene solución. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico ($x=1$) y el cambio de rama ($x=2$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & -1 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Derivable} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, $f'(x) > 0 \implies f$ es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) < 0 \implies f$ es **decreciente**. - En $x = 1$, hay un **máximo relativo** en $(1, f(1)) = (1, 1.5)$. $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 1); \text{ Decreciente: } (1, +\infty)}$$

Para representar la función, tenemos en cuenta: 1. El tramo parabólico tiene su vértice (máximo) en $(1, 1.5)$ y pasa por $(0, 1)$ y $(2, 1)$. 2. El tramo hiperbólico decrece desde $x = 2$ ($y = 1$) hacia el eje $OX$ (asíntota horizontal $y=0$ cuando $x \to +\infty$).

**b) (1 punto) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, las rectas $x = 0$, $x = 4$ y el eje OX.** El área solicitada se encuentra entre $x=0$ y $x=4$. Como la función cambia de definición en $x=2$, debemos dividir la integral en dos partes: $$A = \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{4} f(x) dx$$ Primero verificamos si la función corta al eje OX en el intervalo $[0, 4]$: - En $[0, 2]$, $-\frac{1}{2}x^2 + x + 1 = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-0.5)(1)}}{2(-0.5)} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{-1} = 1 \mp \sqrt{3}$. Las raíces son $\approx 2.73$ y $\approx -0.73$. Ninguna está en el intervalo $(0, 2)$, por lo que la función no cruza el eje aquí. - En $(2, 4]$, $\frac{1}{x-1} = 0$ no tiene solución. Dado que $f(x) > 0$ en todo el intervalo $[0, 4]$, el área es simplemente la suma de las integrales definidas. 💡 **Tip:** Si la función cambiara de signo (cortara al eje OX), tendríamos que calcular el área de cada recinto por separado usando valores absolutos. $$\boxed{A = \int_{0}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + x + 1) dx + \int_{2}^{4} \frac{1}{x-1} dx}$$

Calculamos cada parte por separado usando la Regla de Barrow: 1. Primera parte: $$\int_{0}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + x + 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2}$$ $$= \left( -\frac{8}{6} + \frac{4}{2} + 2 \right) - (0) = -\frac{4}{3} + 2 + 2 = -\frac{4}{3} + 4 = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ 2. Segunda parte: $$\int_{2}^{4} \frac{1}{x-1} dx = \left[ \ln|x-1| \right]_{2}^{4}$$ $$= \ln(4-1) - \ln(2-1) = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) \text{ u}^2$$ Sumamos ambos resultados: $$A = \frac{8}{3} + \ln(3) \approx 2.667 + 1.098 = 3.765 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{8}{3} + \ln(3) \text{ u}^2}$$