Probabilidad condicionada y sucesos independientes

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales: - $A$: El habitante profesa la religión $A$. - $O$: El habitante profesa otras religiones. - $N$: El habitante no profesa ninguna religión. - $M$: El habitante es mujer. - $H$: El habitante es hombre (suceso contrario a mujer, $\bar{M}$). Extraemos los datos del enunciado: - $P(A) = 0,30$ - $P(O) = 0,50$ - $P(M|A) = 0,40$ (Probabilidad de ser mujer dado que profesa la religión $A$) - $P(A|M) = 0,25$ (Probabilidad de profesar la religión $A$ dado que es mujer) 💡 **Tip:** En problemas donde se mezclan probabilidades condicionadas "cruzadas" (de A dado M y de M dado A), lo más útil suele ser calcular la intersección $P(A \cap M)$ y luego organizar los datos en una **tabla de contingencia**.

**a) (0.5 puntos) No profese ninguna religión.** Sabemos que un habitante puede profesar la religión $A$, otras religiones ($O$) o ninguna ($N$). Como estos sucesos son incompatibles y cubren todo el espacio muestral: $$P(A) + P(O) + P(N) = 1$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,30 + 0,50 + P(N) = 1$$ $$0,80 + P(N) = 1$$ $$P(N) = 1 - 0,80 = 0,20$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N) = 0,20}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales o disjuntos que forman el total debe ser siempre $1$.

**b) (1 punto) Sea hombre.** Para hallar $P(H)$, primero calculamos $P(M)$. Usamos la definición de probabilidad condicionada: 1. Calculamos la intersección $P(A \cap M)$ usando el dato $P(M|A)$: $$P(A \cap M) = P(A) \cdot P(M|A) = 0,30 \cdot 0,40 = 0,12$$ 2. Usamos el otro dato condicionado $P(A|M) = 0,25$ para despejar $P(M)$: $$P(A|M) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)} \implies 0,25 = \frac{0,12}{P(M)}$$ $$P(M) = \frac{0,12}{0,25} = 0,48$$ 3. Finalmente, calculamos la probabilidad de ser hombre como el suceso contrario: $$P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0,48 = 0,52$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0,52}$$ **Tabla de contingencia (resumen de datos calculados):** $$\begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \text{Total} \\ \hline M & 0,12 & 0,36 & 0,48 \\ H & 0,18 & 0,34 & 0,52 \\ \hline \text{Total} & 0,30 & 0,70 & 1,00 \end{array}$$ *Nota: $P(\bar{A}) = P(O) + P(N) = 0,50 + 0,20 = 0,70$.*

**c) (1 punto) Solo verifique uno de los siguientes sucesos: "profesa la religión $A$"; "es mujer".** Nos piden la probabilidad de que ocurra $A$ pero no $M$, o que ocurra $M$ pero no $A$. Matemáticamente es la diferencia simétrica: $$P((A \cap \bar{M}) \cup (\bar{A} \cap M))$$ Calculamos cada parte por separado: - Probabilidad de profesar $A$ y ser hombre: $$P(A \cap H) = P(A) - P(A \cap M) = 0,30 - 0,12 = 0,18$$ - Probabilidad de ser mujer y no profesar la religión $A$: $$P(M \cap \bar{A}) = P(M) - P(A \cap M) = 0,48 - 0,12 = 0,36$$ Sumamos ambas probabilidades (ya que son sucesos incompatibles): $$P = 0,18 + 0,36 = 0,54$$ También se puede calcular como: $$P(A \cup M) - P(A \cap M)$$ Donde $P(A \cup M) = P(A) + P(M) - P(A \cap M) = 0,30 + 0,48 - 0,12 = 0,66$. Entonces: $$0,66 - 0,12 = 0,54$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0,54}$$