Probabilidad y Estadística 2024 Andalucia
Probabilidad condicionada: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes
EJERCICIO 6
En una empresa, el 30% de los empleados ejercen de economistas y el 25% ejercen de abogados. El 75% de los economistas y el 60% de los abogados ocupan puestos directivos, mientras que, de los empleados que no ejercen ni de economistas ni de abogados, el 15% ocupa un puesto directivo.
Seleccionado un empleado al azar de esta empresa, calcule la probabilidad de que:
a) (1.5 puntos) No ocupe un puesto directivo.
b) (1 punto) Ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del diagrama de árbol
Para resolver este ejercicio de probabilidad, primero definimos los sucesos principales basados en la profesión y el cargo:
- $E$: El empleado es economista. $P(E) = 0,30$
- $A$: El empleado es abogado. $P(A) = 0,25$
- $O$: El empleado no es ni economista ni abogado (otros). $P(O) = 1 - (0,30 + 0,25) = 0,45$
- $D$: El empleado ocupa un puesto directivo.
- $\bar{D}$: El empleado no ocupa un puesto directivo.
A partir de los datos del enunciado, conocemos las probabilidades condicionadas:
$P(D|E) = 0,75 \implies P(\bar{D}|E) = 0,25$
$P(D|A) = 0,60 \implies P(\bar{D}|A) = 0,40$
$P(D|O) = 0,15 \implies P(\bar{D}|O) = 0,85$
Representamos la situación en un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no ocupar un puesto directivo
**a) (1.5 puntos) No ocupe un puesto directivo.**
Para calcular la probabilidad de que un empleado no sea directivo, $P(\bar{D})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de las tres ramas que terminan en $\bar{D}$:
$$P(\bar{D}) = P(E) \cdot P(\bar{D}|E) + P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(O) \cdot P(\bar{D}|O)$$
Sustituimos los valores calculados en el diagrama de árbol:
$$P(\bar{D}) = (0,30 \cdot 0,25) + (0,25 \cdot 0,40) + (0,45 \cdot 0,85)$$
$$P(\bar{D}) = 0,075 + 0,10 + 0,3825$$
$$P(\bar{D}) = 0,5575$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser directivo o no) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (ser economista, abogado u otro).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}) = 0,5575}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1 punto) Ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo.**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(E|D)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|D) = \frac{P(E \cap D)}{P(D)}$$
Primero, necesitamos calcular $P(D)$. Podemos hacerlo de dos formas:
1. Calculando la suma de las ramas directivas.
2. Usando el suceso contrario de la probabilidad hallada en el apartado anterior:
$$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0,5575 = 0,4425$$
Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección $P(E \cap D)$:
$$P(E \cap D) = P(E) \cdot P(D|E) = 0,30 \cdot 0,75 = 0,225$$
Finalmente, aplicamos Bayes:
$$P(E|D) = \frac{0,225}{0,4425} \approx 0,50847...$$
Redondeando a cuatro decimales:
$$P(E|D) \approx 0,5085$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona una probabilidad condicionada con su inversa: nos preguntan $P(E|D)$ y conocemos $P(D|E)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|D) \approx 0,5085}$$