Muestreo estratificado y distribución de la media muestral

**a) (1 punto) De los 4000 melones recolectados en un determinado periodo, 1420 son de la variedad $A$, 980 de la $B$, 720 de la $C$ y el resto de la $D$. Si se selecciona una muestra de 200 de estos melones, ¿cuál debe ser la composición que debe tener dicha muestra si se realiza mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional?** Primero, identificamos el tamaño total de la población ($N$) y el tamaño de cada estrato (variedad): - Población total: $N = 4000$ - Variedad $A$: $N_A = 1420$ - Variedad $B$: $N_B = 980$ - Variedad $C$: $N_C = 720$ Para hallar el tamaño de la variedad $D$, restamos las anteriores del total: $$N_D = 4000 - (1420 + 980 + 720) = 4000 - 3120 = 880$$ El tamaño de la muestra total es $n = 200$. 💡 **Tip:** En el muestreo con **afijación proporcional**, el número de elementos de cada estrato en la muestra ($n_i$) debe ser proporcional al tamaño del estrato en la población ($N_i$), es decir: $\frac{n_i}{N_i} = rac{n}{N}$.

Aplicamos la fórmula $n_i = N_i \cdot \frac{n}{N}$ para cada variedad. Calculamos primero la constante de proporcionalidad: $$\text{Ratio} = \frac{n}{N} = \frac{200}{4000} = 0.05$$ Ahora calculamos el tamaño de muestra para cada estrato: - **Variedad A:** $n_A = 1420 \cdot 0.05 = 71$ - **Variedad B:** $n_B = 980 \cdot 0.05 = 49$ - **Variedad C:** $n_C = 720 \cdot 0.05 = 36$ - **Variedad D:** $n_D = 880 \cdot 0.05 = 44$ Comprobamos que la suma sea el total de la muestra: $71 + 49 + 36 + 44 = 200$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n_A = 71, \, n_B = 49, \, n_C = 36, \, n_D = 44}$$

**b.1) (0.5 puntos) Indique la distribución que sigue la media muestral del peso de las sandías.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de una sandía. Sabemos que: $$X \sim N(\mu = 3.85, \sigma = 1.32)$$ Cuando tomamos muestras de tamaño $n = 121$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media $\mu$ y una desviación típica igual al error estándar $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.32}{\sqrt{121}} = \frac{1.32}{11} = 0.12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ siempre será $N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(3.85, \, 0.12)}$$

**b.2) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre 3.6 kg y 4 kg.** Buscamos $P(3.6 \le \bar{X} \le 4)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$Z_1 = \frac{3.6 - 3.85}{0.12} = \frac{-0.25}{0.12} \approx -2.08$$ $$Z_2 = \frac{4 - 3.85}{0.12} = \frac{0.15}{0.12} = 1.25$$ Entonces: $$P(3.6 \le \bar{X} \le 4) = P(-2.08 \le Z \le 1.25)$$ $$P(-2.08 \le Z \le 1.25) = p(Z \le 1.25) - p(Z \le -2.08)$$ Como la distribución es simétrica, $p(Z \le -2.08) = 1 - p(Z \le 2.08)$. Sustituimos: $$P = p(Z \le 1.25) - [1 - p(Z \le 2.08)]$$ Buscamos los valores en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: - $p(Z \le 1.25) = 0.8944$ - $p(Z \le 2.08) = 0.9812$ Operamos: $$P = 0.8944 - (1 - 0.9812) = 0.8944 - 0.0188 = 0.8756$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(3.6 \le \bar{X} \le 4) = 0.8756}$$