Probabilidad y Estadística 2024 Andalucia
Intervalo de confianza para la media y probabilidad normal
EJERCICIO 8
Una empresa farmacéutica desea revisar la efectividad de un nuevo medicamento antipirético (reduce la fiebre). Se conoce que el tiempo en el que este medicamento comienza a hacer efecto sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica de 5 minutos. Para estimar la media poblacional, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 individuos con fiebre y tras administrarse el medicamento, se han anotado los tiempos en los que comienza a remitir. Los tiempos obtenidos, en minutos, fueron:
20, 25, 30, 35, 35, 20, 20, 25, 30, 30
a) (1.5 puntos) Determine un intervalo, con un nivel de confianza del 98%, para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a 35 minutos.
b) (1 punto) Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media 27.2 minutos y desviación típica de 5 minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados 20 minutos.
Paso 1
Identificación de datos y cálculo de la media muestral
**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo, con un nivel de confianza del 98%, para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a 35 minutos.**
Primero, identificamos los parámetros conocidos de la población y los datos de la muestra:
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ minutos.
- Tamaño de la muestra: $n = 10$.
- Datos de la muestra: $20, 25, 30, 35, 35, 20, 20, 25, 30, 30$.
Calculamos la media muestral ($\bar{x}$):
$$\bar{x} = \frac{20 + 25 + 30 + 35 + 35 + 20 + 20 + 25 + 30 + 30}{10} = \frac{265}{10} = 26.5$$
💡 **Tip:** La media muestral es simplemente el promedio aritmético de los valores observados en el estudio.
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $98\%$, tenemos:
- $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$
- El nivel de significación repartido en las dos colas es $\alpha/2 = 0.01$.
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$$
Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor que más se aproxima a $0.99$ es:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$
(Nota: Algunos alumnos pueden usar el valor más preciso $2.326$, pero $2.33$ es el estándar en las tablas de Bachillerato).
Paso 3
Cálculo del error y del intervalo de confianza
La fórmula del error máximo admisible es:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores:
$$E = 2.33 \cdot \frac{5}{\sqrt{10}} = 2.33 \cdot \frac{5}{3.1623} \approx 2.33 \cdot 1.5811 = 3.684$$
El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (26.5 - 3.684, \quad 26.5 + 3.684)$$
$$I.C. = (22.816, \quad 30.184)$$
✅ **Resultado del intervalo:**
$$\boxed{I.C. = (22.816, \ 30.184)}$$
Paso 4
Razonamiento sobre el tiempo medio superior a 35 minutos
El enunciado nos pregunta si puede admitirse que el tiempo medio es superior a $35$ minutos basándonos en el intervalo obtenido.
Observamos que el intervalo de confianza $(22.816, 30.184)$ representa el rango de valores en los que se encuentra la verdadera media poblacional con un $98\%$ de seguridad.
Dado que el valor $35$ minutos es mayor que el límite superior del intervalo ($30.184$), **no puede admitirse** que el tiempo medio sea superior a $35$ minutos, ya que dicho valor no es compatible con los datos muestrales obtenidos para ese nivel de confianza.
💡 **Tip:** Si un valor está fuera del intervalo, lo consideramos poco probable o rechazable bajo ese nivel de confianza.
Paso 5
Cálculo de probabilidad en la nueva distribución Normal
**b) (1 punto) Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media 27.2 minutos y desviación típica de 5 minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados 20 minutos.**
Definimos la variable aleatoria $X$: "tiempo en minutos que tarda en hacer efecto el medicamento".
$$X \sim N(27.2, \ 5)$$
Se nos pide la probabilidad de que el efecto ocurra después de los $20$ minutos:
$$P(X \gt 20)$$
Tipificamos la variable para poder usar la tabla $N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X \gt 20) = P\left(Z \gt \frac{20 - 27.2}{5}\right) = P\left(Z \gt \frac{-7.2}{5}\right) = P(Z \gt -1.44)$$
Por simetría de la campana de Gauss:
$$P(Z \gt -1.44) = P(Z \le 1.44)$$
Buscamos en la tabla de la Normal el valor para $1.44$:
$$P(Z \le 1.44) = 0.9251$$
✅ **Resultado de la probabilidad:**
$$\boxed{P(X \gt 20) = 0.9251}$$
💡 **Tip:** Que el medicamento no haga efecto hasta pasados 20 minutos significa que el tiempo de respuesta es mayor que 20.