Ecuación matricial y potencias de matrices

**a) (1.5 puntos) Halle la matriz $A$ que satisface la ecuación $P^{-1} \cdot A \cdot P = J$.** Para resolver la ecuación matricial $P^{-1} \cdot A \cdot P = J$ y despejar $A$, debemos eliminar las matrices $P^{-1}$ y $P$ que la acompañan. Para ello, multiplicamos por la izquierda por $P$ y por la derecha por $P^{-1}$ en ambos miembros de la igualdad: $$P \cdot (P^{-1} \cdot A \cdot P) \cdot P^{-1} = P \cdot J \cdot P^{-1}$$ Como sabemos que $P \cdot P^{-1} = I$ (matriz identidad) y que la matriz identidad no altera el producto ($I \cdot A = A$): $$(P \cdot P^{-1}) \cdot A \cdot (P \cdot P^{-1}) = P \cdot J \cdot P^{-1}$$ $$I \cdot A \cdot I = P \cdot J \cdot P^{-1}$$ $$A = P \cdot J \cdot P^{-1}$$ 💡 **Tip:** El orden en el producto de matrices es fundamental. Si multiplicas por una matriz en la izquierda de un miembro, debes hacerlo también por la izquierda en el otro. $$\boxed{A = P \cdot J \cdot P^{-1}}$$

Para hallar $A$, primero necesitamos calcular $P^{-1}$. Utilizaremos la fórmula: $$P^{-1} = \frac{1}{|P|} \text{Adj}(P)^t$$ 1. **Calculamos el determinante de $P$ mediante la regla de Sarrus:** $$|P| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [1\cdot 1 \cdot (-1) + 0 + 0] - [1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 + 0] = -1 - 1 = -2$$ Como $|P| \neq 0$, la matriz $P$ es inversible. 2. **Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(P)$:** $$\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. **Transponemos y dividimos por el determinante:** $$\text{Adj}(P)^t = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0.5 & -0.5 & -0.5 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos $A = (P \cdot J) \cdot P^{-1}$: 1. **Primero calculamos $P \cdot J$:** $$P \cdot J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. **Multiplicamos el resultado por $P^{-1}$:** $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0.5 & -0.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$ Realizando los productos fila por columna: - $a_{11} = 2(0.5) + 1(0) - 1(0.5) = 1 - 0.5 = 0.5$ - $a_{12} = 2(0.5) + 1(1) - 1(-0.5) = 1 + 1 + 0.5 = 2.5$ - $a_{13} = 2(0.5) + 1(0) - 1(-0.5) = 1 + 0.5 = 1.5$ - $a_{21} = 0(0.5) + 2(0) + 0(0.5) = 0$ - $a_{22} = 0(0.5) + 2(1) + 0(-0.5) = 2$ - $a_{23} = 0(0.5) + 2(0) + 0(-0.5) = 0$ - $a_{31} = 2(0.5) - 1(0) + 1(0.5) = 1 + 0.5 = 1.5$ - $a_{32} = 2(0.5) - 1(1) + 1(-0.5) = 1 - 1 - 0.5 = -0.5$ - $a_{33} = 2(0.5) - 1(0) + 1(-0.5) = 1 - 0.5 = 0.5$ ✅ **Resultado final de a):** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 0.5 & 2.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1.5 & -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Compruebe que $A^3 = P \cdot J^3 \cdot P^{-1}$.** Partimos de la relación hallada en el apartado anterior: $A = P \cdot J \cdot P^{-1}$. Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = (P \cdot J \cdot P^{-1}) \cdot (P \cdot J \cdot P^{-1})$$ Como el producto de matrices es asociativo: $$A^2 = P \cdot J \cdot (P^{-1} \cdot P) \cdot J \cdot P^{-1}$$ Sabemos que $P^{-1} \cdot P = I$: $$A^2 = P \cdot J \cdot I \cdot J \cdot P^{-1} = P \cdot J^2 \cdot P^{-1}$$ Ahora calculamos $A^3$ usando el resultado anterior: $$A^3 = A^2 \cdot A = (P \cdot J^2 \cdot P^{-1}) \cdot (P \cdot J \cdot P^{-1})$$ Nuevamente, agrupamos los términos centrales: $$A^3 = P \cdot J^2 \cdot (P^{-1} \cdot P) \cdot J \cdot P^{-1} = P \cdot J^2 \cdot I \cdot J \cdot P^{-1} = P \cdot J^3 \cdot P^{-1}$$ 💡 **Tip:** Este proceso es una propiedad general de las matrices semejantes: si $A = PJP^{-1}$, entonces $A^n = PJ^nP^{-1}$ para cualquier número natural $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Queda comprobado que } A^3 = P \cdot J^3 \cdot P^{-1}}$$