Optimización de ingresos en decoración de eventos

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero que debemos hacer es identificar las incógnitas y qué es lo que queremos maximizar. Definimos las variables: - $x$: número de **centros florales**. - $y$: número de **candelabros**. La tienda quiere maximizar sus ingresos, por lo que definimos la **función objetivo** basándonos en los precios de cada artículo ($32 \text{ €}$ por centro y $35 \text{ €}$ por candelabro): $$I(x, y) = 32x + 35y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, la función objetivo siempre representa la cantidad (dinero, tiempo, coste) que queremos hacer máxima o mínima.

Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Número total de mesas:** Se montan entre $12$ y $40$ mesas. Como en cada mesa va un artículo, la suma de artículos debe estar en ese rango: - $x + y \ge 12$ - $x + y \le 40$ 2. **Relación entre artículos:** El número de candelabros ($y$) no puede ser superior a una tercera parte de los centros florales ($x$): - $y \le \dfrac{1}{3}x \implies 3y \le x \implies x - 3y \ge 0$ 3. **No negatividad:** Lógicamente, no podemos tener cantidades negativas de artículos: - $x \ge 0$ - $y \ge 0$ Conjunto de restricciones: $$\begin{cases} x + y \ge 12 \\ x + y \le 40 \\ x - 3y \ge 0 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones posibles (región factible): - $r_1: x + y = 12$ (puntos $(12, 0)$ y $(0, 12)$) - $r_2: x + y = 40$ (puntos $(40, 0)$ y $(0, 40)$) - $r_3: x = 3y$ (puntos $(0, 0)$ y $(30, 10)$) La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades a la vez.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cruzan: - **Vértice A** (Intersección de $x+y=12$ y $y=x/3$): $x + \dfrac{x}{3} = 12 \implies \dfrac{4x}{3} = 12 \implies x = 9, y = 3 \implies \mathbf{A(9, 3)}$ - **Vértice B** (Intersección de $x+y=40$ y $y=x/3$): $x + \dfrac{x}{3} = 40 \implies \dfrac{4x}{3} = 40 \implies x = 30, y = 10 \implies \mathbf{B(30, 10)}$ - **Vértice C** (Intersección de $x+y=40$ y $y=0$): $x + 0 = 40 \implies x = 40 \implies \mathbf{C(40, 0)}$ - **Vértice D** (Intersección de $x+y=12$ y $y=0$): $x + 0 = 12 \implies x = 12 \implies \mathbf{D(12, 0)}$ 💡 **Tip:** Los puntos óptimos siempre se encuentran en los vértices de la región factible o en sus bordes.

Evaluamos $I(x, y) = 32x + 35y$ en cada vértice para encontrar el valor máximo: - $I(9, 3) = 32(9) + 35(3) = 288 + 105 = 393 \text{ €}$ - $I(30, 10) = 32(30) + 35(10) = 960 + 350 = 1310 \text{ €}$ - $I(40, 0) = 32(40) + 35(0) = 1280 \text{ €}$ - $I(12, 0) = 32(12) + 35(0) = 384 \text{ €}$ El valor máximo es de $1310 \text{ €}$, el cual se alcanza con $30$ centros florales y $10$ candelabros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe seleccionar 30 centros florales y 10 candelabros. Los ingresos ascenderán a 1310 €}}$$