Área entre funciones y coste de acondicionamiento

**a) (1 punto) Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.** Para representar la región, primero necesitamos saber dónde se cortan las dos funciones $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = \frac{x^2}{5}$. Igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies -x^2 + 6x = \frac{x^2}{5}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $5$ para eliminar el denominador: $$-5x^2 + 30x = x^2$$ $$-6x^2 + 30x = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado: $$6x(-x + 5) = 0$$ Las soluciones son: - $6x = 0 \implies x_1 = 0$ - $-x + 5 = 0 \implies x_2 = 5$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el cálculo del área en el siguiente apartado. $$\boxed{x=0, \quad x=5}$$

Para realizar la representación gráfica, analizamos brevemente las funciones: 1. **$f(x) = -x^2 + 6x$**: Es una parábola con las ramas hacia abajo ($a \lt 0$). Su vértice se encuentra en $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-1)} = 3$. La ordenada es $f(3) = -(3)^2 + 6(3) = 9$. El vértice es $(3, 9)$. 2. **$g(x) = \frac{x^2}{5}$**: Es una parábola con las ramas hacia arriba ($a \gt 0$) y vértice en el origen $(0, 0)$. La superficie de ampliación es la región encerrada entre ambas curvas desde $x=0$ hasta $x=5$.

**b) (1.5 puntos) Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75 €/m$^2$, calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.** El área $A$ de la región delimitada por dos funciones se calcula como la integral definida de la función superior menos la función inferior entre los puntos de corte. En el intervalo $[0, 5]$, observamos que $f(x) \ge g(x)$. $$A = \int_{0}^{5} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{0}^{5} \left( -x^2 + 6x - \frac{x^2}{5} \right) \, dx$$ Simplificamos la expresión antes de integrar: $$-x^2 - \frac{x^2}{5} = \frac{-5x^2 - x^2}{5} = -\frac{6}{5}x^2$$ Por tanto: $$A = \int_{0}^{5} \left( -\frac{6}{5}x^2 + 6x \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f$ y $g$ es $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$. En este caso, $f$ está siempre por encima de $g$ en el intervalo delimitado.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int \left( -\frac{6}{5}x^2 + 6x \right) \, dx = -\frac{6}{5} \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{2}{5}x^3 + 3x^2$$ Ahora evaluamos en los límites $0$ y $5$: $$A = \left[ -\frac{2}{5}x^3 + 3x^2 \right]_0^5 = \left( -\frac{2}{5}(5)^3 + 3(5)^2 \right) - \left( -\frac{2}{5}(0)^3 + 3(0)^2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{2 \cdot 125}{5} + 3 \cdot 25 \right) - (0)$$ $$A = (-2 \cdot 25 + 75) = -50 + 75 = 25 \text{ dam}^2$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = 25 \text{ dam}^2}$$

El enunciado nos da el coste en €/m$^2$, pero el área obtenida está en decámetros cuadrados (dam$^2$). Debemos realizar la conversión: $1 \text{ dam} = 10 \text{ m} \implies 1 \text{ dam}^2 = (10 \text{ m})^2 = 100 \text{ m}^2$ $$25 \text{ dam}^2 = 25 \cdot 100 \text{ m}^2 = 2500 \text{ m}^2$$ Calculamos el coste total multiplicando el área por el precio unitario: $$\text{Coste} = 2500 \text{ m}^2 \cdot 75 \text{ €/m}^2 = 187500 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** ¡Cuidado con las unidades! Es un error muy común en estos problemas olvidar elevar al cuadrado el factor de conversión cuando pasamos de unidades lineales a unidades de superficie. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2500 \text{ m}^2, \quad \text{Coste Total} = 187500 \text{ €}}$$