Continuidad, derivabilidad y área entre funciones a trozos

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$ y $g$ en sus dominios.** Empezamos analizando la función $g(x) = 1$ para el intervalo $[-1, 3]$. La función $g(x)$ es una función constante (un polinomio de grado 0). Los polinomios son continuos y derivables en todo su dominio real. Por tanto: - $g(x)$ es **continua** en el intervalo $[-1, 3]$. - $g(x)$ es **derivable** en el intervalo $(-1, 3)$, siendo su derivada $g'(x) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier función polinómica es continua y derivable en todos los números reales.

Analizamos ahora $f(x)$. Las ramas $2-x^2$ y $(x-2)^2$ son polinómicas, por lo que son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. El único punto crítico donde podría haber un problema es el salto entre ramas en $x = 1$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, los límites laterales y el valor de la función deben coincidir: 1. Valor de la función: $f(1) = 2 - (1)^2 = 1$. 2. Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (2 - x^2) = 2 - 1^2 = 1.$$ 3. Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (x - 2)^2 = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1.$$ Como $1 = 1 = 1$, la función **$f(x)$ es continua en $x = 1$** y, por extensión, en todo su dominio $[-1, 3]$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel; matemáticamente, esto ocurre si el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha e igual al valor del punto.

Calculamos primero la derivada de las ramas de $f(x)$ para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } -1 < x < 1 \\ 2(x - 2) & \text{si } 1 < x < 3 \end{cases}$$ Para estudiar la derivabilidad en $x = 1$, calculamos las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = -2(1) = -2$. - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = 2(1 - 2) = 2(-1) = -2$. Como las derivadas laterales coinciden ($f'(1^-) = f'(1^+) = -2$), la función **$f(x)$ es derivable en $x = 1$**. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\text{Ambas funciones son continuas y derivables en sus dominios.}}$$

**b) (1.5 puntos) Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.** Primero buscamos los puntos de corte entre $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[-1, 3]$: 1. Rama 1: $2 - x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$. 2. Rama 2: $(x - 2)^2 = 1 \implies x - 2 = \pm 1 \implies x = 3, x = 1$. Los puntos de intersección son $x = -1$, $x = 1$ y $x = 3$. Esto divide el recinto en dos regiones: - **Región 1** ($[-1, 1]$): Si probamos $x=0$, $f(0)=2$ y $g(0)=1$. Como $2 \gt 1$, en este intervalo $f(x) \ge g(x)$. - **Región 2** ($[1, 3]$): Si probamos $x=2$, $f(2)=0$ y $g(2)=1$. Como $0 \lt 1$, en este intervalo $g(x) \ge f(x)$. El área total será la suma de las dos integrales: $$A = \int_{-1}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{1}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Para calcular el área entre dos curvas, restamos la función que está "arriba" menos la que está "abajo" en cada intervalo determinado por los puntos de corte.

Calculamos $A_1$ en el intervalo $[-1, 1]$: $$A_1 = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - 1) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A_1 = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right)$$ $$A_1 = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$

Calculamos $A_2$ en el intervalo $[1, 3]$: $$A_2 = \int_{1}^{3} (1 - (x - 2)^2) \, dx$$ Desarrollamos el binomio $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$: $$A_2 = \int_{1}^{3} (1 - (x^2 - 4x + 4)) \, dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$$ Sustituimos los límites: $$A_2 = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right)$$ $$A_2 = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total del recinto: $$A_{total} = A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Área } = \dfrac{8}{3} \approx 2,67 \text{ unidades cuadradas}}$$