Probabilidad condicionada y sucesos: Novelas en una librería

**a) (0.75 puntos) Compre novelas históricas y de fantasía.** Primero, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $H$: "El cliente compra novelas históricas". - $F$: "El cliente compra novelas de fantasía". Extraemos los datos numéricos y los traducimos a probabilidades: - $P(H) = 45\% = 0,45$. - $P(\bar{F}) = 40\% = 0,40$. Por tanto, la probabilidad de que sí compre fantasía es el complementario: $$P(F) = 1 - P(\bar{F}) = 1 - 0,40 = 0,60.$$ - "De los clientes que compran novelas de fantasía, el 30% compra históricas": esto es una probabilidad condicionada: $$P(H|F) = 30\% = 0,30.$$ Para resolver el apartado a), buscamos la probabilidad de la intersección $P(H \cap F)$. Usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(H|F) = \frac{P(H \cap F)}{P(F)} \implies P(H \cap F) = P(F) \cdot P(H|F)$$ $$P(H \cap F) = 0,60 \cdot 0,30 = 0,18.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la frase "de los que..." suele indicar una condición. $P(A|B)$ se lee como "probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H \cap F) = 0,18}$$

Para facilitar los siguientes apartados, vamos a organizar toda la información en una **tabla de contingencia**. Sabemos que: - $P(H \cap F) = 0,18$ - $P(H) = 0,45$ - $P(F) = 0,60$ Podemos completar el resto de celdas restando del total (que es $1$): - $P(H \cap \bar{F}) = P(H) - P(H \cap F) = 0,45 - 0,18 = 0,27$ - $P(\bar{H} \cap F) = P(F) - P(H \cap F) = 0,60 - 0,18 = 0,42$ - $P(\bar{H}) = 1 - P(H) = 1 - 0,45 = 0,55$ La tabla quedaría así: $$\begin{array}{c|cc|c} & F & \bar{F} & \text{Total} \\ \hline H & 0,18 & 0,27 & 0,45 \\ \bar{H} & 0,42 & 0,13 & 0,55 \\ \hline \text{Total} & 0,60 & 0,40 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la suma de las filas y de las columnas debe coincidir con los totales marginales y la esquina inferior derecha siempre debe ser $1$ (el 100%).

**b) (1 punto) No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.** Buscamos la probabilidad de que no ocurra $H$ y no ocurra $F$, es decir, $P(\bar{H} \cap \bar{F})$. Mirando nuestra tabla de contingencia del paso anterior, localizamos la intersección de la fila $\bar{H}$ y la columna $\bar{F}$: $$P(\bar{H} \cap \bar{F}) = 0,13.$$ También podríamos haberlo calculado usando las **Leyes de De Morgan**: 1. Calculamos la unión: $P(H \cup F) = P(H) + P(F) - P(H \cap F) = 0,45 + 0,60 - 0,18 = 0,87.$ 2. Aplicamos De Morgan: $P(\bar{H} \cap \bar{F}) = P(\overline{H \cup F}) = 1 - P(H \cup F) = 1 - 0,87 = 0,13.$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{H} \cap \bar{F}) = 0,13}$$

**c) (0.75 puntos) Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.** Se nos pide calcular una probabilidad condicionada: la probabilidad de que compre fantasía ($F$) dado que sabemos que no compra histórica ($\bar{H}$). La fórmula es: $$P(F | \bar{H}) = \frac{P(F \cap \bar{H})}{P(\bar{H})}$$ Utilizamos los valores que ya tenemos en nuestra tabla o que hemos calculado: - $P(F \cap \bar{H}) = 0,42$ (calculado en la tabla). - $P(\bar{H}) = 0,55$ (el total de la fila de no históricos). Sustituimos en la fórmula: $$P(F | \bar{H}) = \frac{0,42}{0,55}$$ Realizamos la división: $$P(F | \bar{H}) = \frac{42}{55} \approx 0,7636.$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada "reduce" nuestro espacio muestral. En este caso, ya no miramos el total de clientes ($1$), sino solo los que no compran novelas históricas ($0,55$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F | \bar{H}) = \frac{42}{55} \approx 0,7636}$$