Probabilidad de fabricación y piezas defectuosas

**a) (1.25 puntos) Se selecciona una pieza al azar y resulta no ser defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que fuera fabricada por la máquina $B$?** Primero, definimos los sucesos para identificar la máquina que fabrica la pieza y su estado: - $A$: la pieza es fabricada por la máquina $A$. - $B$: la pieza es fabricada por la máquina $B$. - $C$: la pieza es fabricada por la máquina $C$. - $D$: la pieza es defectuosa. - $\bar{D}$: la pieza no es defectuosa (es correcta). Extraemos los datos del enunciado: - $P(A) = 0.25$ - $P(B) = 0.35$ - $P(C) = 1 - (0.25 + 0.35) = 0.40$ - $P(D) = 0.0205$ (probabilidad total de defecto) - $P(D|B) = 0.01$ (probabilidad de defecto en la máquina $B$) Podemos representar la situación mediante un árbol de probabilidad (aunque nos faltan datos de $A$ y $C$ que calcularemos en el apartado b):

Se nos pide la probabilidad de que la pieza sea de la máquina $B$ sabiendo que no es defectuosa, es decir: $P(B|\bar{D})$. Utilizamos la definición de **probabilidad condicionada** (Teorema de Bayes): $$P(B|\bar{D}) = \frac{P(B \cap \bar{D})}{P(\bar{D})}$$ 1. Calculamos el denominador $P(\bar{D})$ (probabilidad de ser no defectuosa) usando el suceso complementario: $$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.0205 = 0.9795$$ 2. Calculamos el numerador $P(B \cap \bar{D})$ usando la regla del producto: $$P(B \cap \bar{D}) = P(B) \cdot P(\bar{D}|B)$$ Dado que $P(D|B) = 0.01$, entonces $P(\bar{D}|B) = 1 - 0.01 = 0.99$. $$P(B \cap \bar{D}) = 0.35 \cdot 0.99 = 0.3465$$ 3. Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(B|\bar{D}) = \frac{0.3465}{0.9795} \approx 0.35375$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Si ya conoces la probabilidad de un suceso, la de su contrario es siempre $1 - P$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|\bar{D}) \approx 0.3538}$$

**b) (1.25 puntos) Si $A$ y $C$ tienen la misma probabilidad de fabricar una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza sea fabricada por $A$ sabiendo que es defectuosa?** Definimos $x$ como la probabilidad de que la pieza sea defectuosa sabiendo que ha sido fabricada por $A$ o $C$ (ya que el enunciado dice que es la misma): $$x = P(D|A) = P(D|C)$$ Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** para hallar el valor de $x$: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.0205 = 0.25 \cdot x + 0.35 \cdot 0.01 + 0.40 \cdot x$$ Operamos para despejar la incógnita: $$0.0205 = 0.25x + 0.0035 + 0.40x$$ $$0.0205 - 0.0035 = 0.65x$$ $$0.017 = 0.65x$$ $$x = \frac{0.017}{0.65} = \frac{17}{650} \approx 0.02615$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que llevan a él en el árbol.

Ahora que conocemos $P(D|A) = x = 17/650$, calculamos la probabilidad de que la pieza sea de $A$ sabiendo que es defectuosa: $P(A|D)$. Usamos de nuevo el **Teorema de Bayes**: $$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$ Sustituimos los valores: $$P(A|D) = \frac{0.25 \cdot (17/650)}{0.0205}$$ $$P(A|D) = \frac{0.006538...}{0.0205} = \frac{17/2600}{41/2000} = \frac{170}{533} \approx 0.31895$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|D) \approx 0.3190}$$