Intervalo de confianza para la proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Estime, mediante un intervalo de confianza del 97.5%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del 70%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 220$ - Respuestas positivas: $x = 165$ Calculamos la **proporción muestral** ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{165}{220} = 0.75$$ La proporción de respuestas negativas será: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.75 = 0.25$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral es el estimador puntual de la proporción poblacional y se calcula dividiendo los casos favorables entre el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $97.5\%$, tenemos: $1 - \alpha = 0.975 \implies \alpha = 0.025$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.025}{2} = 1 - 0.0125 = 0.9875$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$ el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9875$: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.24}$$ 💡 **Tip:** Si el nivel de confianza es $1-\alpha$, el área que dejamos en cada cola de la normal es $\alpha/2$. Por eso buscamos el valor cuya probabilidad acumulada es $1 - \alpha/2$.

El error de estimación para la proporción se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 2.24 \cdot \sqrt{\frac{0.75 \cdot 0.25}{220}} = 2.24 \cdot \sqrt{\frac{0.1875}{220}} \approx 2.24 \cdot 0.02919 = 0.0654$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.75 - 0.0654, \; 0.75 + 0.0654)$$ $$IC = (0.6846, \; 0.8154)$$ En términos de porcentaje, el intervalo es **$(68.46\%, \; 81.54\%)$**. ✅ **Resultado del intervalo:** $$\boxed{IC = (0.6846, \; 0.8154)}$$

El enunciado nos pregunta si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responden positivamente es del $70\%$. Observamos si el valor $0.7$ (equivalente al $70\%$) pertenece al intervalo de confianza calculado: $$0.6846 \lt 0.7 \lt 0.8154$$ Como $0.7 \in (0.6846, \; 0.8154)$, **sí se puede admitir** que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente es del $70\%$, con un nivel de confianza del $97.5\%$. 💡 **Tip:** Si un valor propuesto cae dentro del intervalo de confianza, se considera una estimación plausible para el parámetro poblacional.

**b) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2.5%?** Mantenemos los datos anteriores: - $z_{\alpha/2} = 2.24$ - $\hat{p} = 0.75$ - $\hat{q} = 0.25$ El nuevo error máximo permitido es $E \lt 0.025$ (2.5%). Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(2.24)^2 \cdot 0.75 \cdot 0.25}{(0.025)^2}$$ $$n = \frac{5.0176 \cdot 0.1875}{0.000625}$$ $$n = \frac{0.9408}{0.000625} = 1505.28$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que el $2.5\%$, debemos redondear siempre al entero superior. $$\boxed{n = 1506}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea estrictamente menor al propuesto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El tamaño mínimo debe ser de 1506 enfermos}}$$