Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza para el tiempo medio de estas repeticiones con un 93.5% de confianza.** Primero, identificamos los datos del problema y definimos la variable: - $X$: Tiempo de una repetición (minutos). Sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.36$. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. Calculamos la media muestral $\bar{x}$ sumando los 10 tiempos y dividiendo por 10: $$\bar{x} = \frac{2.71 + 3.84 + 3.26 + 2.28 + 2.86 + 3.08 + 3.07 + 2.46 + 2.54 + 2.58}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{28.68}{10} = 2.868 \text{ minutos}$$ 💡 **Tip:** En inferencia sobre la media con $\sigma$ conocida, siempre usamos la media aritmética de la muestra como estimador puntual. $$\boxed{\bar{x} = 2.868}$$

Para un nivel de confianza del $93.5\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.935 \implies \alpha = 1 - 0.935 = 0.065$$ $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.065}{2} = 0.0325$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0325 = 0.9675$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, observamos que la probabilidad $0.9675$ corresponde exactamente al valor: $$z_{\alpha/2} = 1.845$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, se toma el valor medio entre los dos más cercanos o el que más se aproxime. Aquí, $0.9671$ (para $1.84$) y $0.9678$ (para $1.85$) dejan a $0.9675$ justo en medio. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.845}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media $\mu$ es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.845 \cdot \frac{0.36}{\sqrt{10}} = 1.845 \cdot \frac{0.36}{3.1622} \approx 1.845 \cdot 0.11384 \approx 0.21$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (2.868 - 0.21, 2.868 + 0.21) = (2.658, 3.078)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (2.658, 3.078)}$$

**b) (1.25 puntos) ¿Cuántas repeticiones como mínimo se tendrán que cronometrar si se quiere obtener un error en la estimación del tiempo medio inferior a 0.05 minutos manteniendo el mismo nivel de confianza?** El enunciado nos pide que el error $E$ sea menor que $0.05$. La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Datos: - Confianza $93.5\% \implies z_{\alpha/2} = 1.845$ (el mismo que en el apartado anterior). - $\sigma = 0.36$. - $E \lt 0.05$. Planteamos la inecuación: $$1.845 \cdot \frac{0.36}{\sqrt{n}} \lt 0.05$$ 💡 **Tip:** Para hallar el tamaño de la muestra, siempre despejamos $n$ de la fórmula del error y redondeamos al siguiente número entero hacia arriba.

Despejamos $\sqrt{n}$ de la inecuación: $$\frac{1.845 \cdot 0.36}{0.05} \lt \sqrt{n}$$ $$\frac{0.6642}{0.05} \lt \sqrt{n}$$ $$13.284 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para obtener $n$: $$n \gt (13.284)^2$$ $$n \gt 176.465$$ Como el número de repeticiones debe ser un número entero y buscamos el mínimo que cumpla la condición, tomamos el primer entero mayor que $176.465$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 177 \text{ repeticiones}}$$