Operaciones con matrices, matriz inversa y ecuaciones matriciales

**a) (0.75 puntos) Halle el valor de $a$ para que se verifique que $M^t \cdot V = (5 \quad 1 \quad 5)^t$.** Primero obtenemos la matriz traspuesta de $M$, que consiste en cambiar filas por columnas: $$M^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $M^t \cdot V$ e igualamos al vector columna dado: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - a^2 \\ a - 1 \\ a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de las filas de la primera por los de las columnas de la segunda y sumamos los resultados.

Operamos fila a fila: 1. Fila 1: $1(5 - a^2) + 2(a - 1) + 1(a^2) = 5 - a^2 + 2a - 2 + a^2 = 2a + 3$ 2. Fila 2: $0(5 - a^2) + 1(a - 1) + 1(a^2) = a - 1 + a^2$ 3. Fila 3: $1(5 - a^2) + 0(a - 1) + 1(a^2) = 5 - a^2 + a^2 = 5$ Igualamos cada componente al vector $(5, 1, 5)^t$: $$\begin{cases} 2a + 3 = 5 \implies 2a = 2 \implies a = 1 \\ a^2 + a - 1 = 1 \implies a^2 + a - 2 = 0 \\ 5 = 5 \end{cases}$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $a^2 + a - 2 = 0$: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a_1 = 1, a_2 = -2$$ Para que se cumplan todas las ecuaciones simultáneamente, el único valor válido es el que coincide en ambas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule $M^{-1}$ y resuelva la ecuación matricial $X \cdot M - I_3 = N$.** Primero calculamos el determinante de $M$ por la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot1\cdot1 + 0\cdot0\cdot1 + 1\cdot2\cdot1) - (1\cdot1\cdot1 + 0\cdot1\cdot1 + 1\cdot2\cdot0) = 3 - 1 = 2$$ Como $|M| \neq 0$, existe $M^{-1}$. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $A_{11} = +1, A_{12} = -2, A_{13} = 1$ - $A_{21} = +1, A_{22} = 0, A_{23} = -1$ - $A_{31} = -1, A_{32} = +2, A_{33} = 1$ $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} (\text{Adj}(M))^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & -0.5 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0.5 & -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}}$$

Despejamos la matriz $X$ en la ecuación $X \cdot M - I_3 = N$: 1. Sumamos $I_3$ en ambos lados: $X \cdot M = N + I_3$ 2. Multiplicamos por $M^{-1}$ por la derecha: $X = (N + I_3) \cdot M^{-1}$ Primero calculamos $N + I_3$: $$N + I_3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X$: $$X = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4-4+2 & 4+0-2 & -4+4+2 \\ 5-6+1 & 5+0-1 & -5+6+1 \\ 7-8+1 & 7+0-1 & -7+8+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.5 puntos) Razone si las operaciones $2 \cdot V \cdot N^t$ y $(N + M^t) \cdot V$ se pueden realizar.** Analizamos las dimensiones de las matrices involucradas: - $M, N, M^t, N^t$ son matrices de dimensión $3 \times 3$. - $V$ es una matriz (vector columna) de dimensión $3 \times 1$. 💡 **Tip:** Para multiplicar $A \cdot B$, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$. **Operación 1: $2 \cdot V \cdot N^t$** Dimensiones: $(3 \times 1) \cdot (3 \times 3)$. Como el número de columnas de $V$ (1) no coincide con el número de filas de $N^t$ (3), **no se puede realizar**. **Operación 2: $(N + M^t) \cdot V$** Dimensiones: $(3 \times 3 + 3 \times 3) \cdot (3 \times 1) = (3 \times 3) \cdot (3 \times 1)$. Como el número de columnas de $(N + M^t)$ (3) coincide con el número de filas de $V$ (3), **sí se puede realizar**. La dimensión de la matriz resultante será de **$3 \times 1$**. ✅ **Resultado (Dimensión):** $$\boxed{\text{Op 1: Imposible. Op 2: Posible, dimensión } 3 \times 1}$$