Estudio de una función racional: dominio, asíntotas, tangentes y curvatura

**a) (0.75 puntos) Halle el dominio de $f$ y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.** La función $f(x) = 1 - \frac{4}{3+x}$ es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$3 + x = 0 \implies x = -3$$ Por lo tanto, el dominio es todo $\mathbb{R}$ menos el valor $-3$. 💡 **Tip:** El dominio de las funciones racionales se calcula excluyendo los valores de $x$ que hacen que el denominador sea $0$. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3\}}$$

Para hallar los puntos de corte, analizamos cada eje por separado: **Corte con el eje OY (ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = 1 - \frac{4}{3+0} = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3-4}{3} = -\frac{1}{3}$$ El punto de corte es **$(0, -1/3)$**. **Corte con el eje OX (abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$0 = 1 - \frac{4}{3+x} \implies \frac{4}{3+x} = 1$$ Multiplicamos en cruz: $$4 = 3 + x \implies x = 1$$ El punto de corte es **$(1, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Corte OY: } (0, -1/3), \quad \text{Corte OX: } (1, 0)}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule las asíntotas de la función $f$.** **Asíntota Vertical (A.V.):** Probamos en el valor que no pertenece al dominio, $x = -3$: $$\lim_{x \to -3} \left( 1 - \frac{4}{3+x} \right) = 1 - \frac{4}{0} = \infty$$ Existe una asíntota vertical en **$x = -3$**. **Asíntota Horizontal (A.H.):** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \left( 1 - \frac{4}{3+x} \right) = 1 - 0 = 1$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 1$**. **Asíntota Oblicua (A.O.):** Al existir asíntota horizontal, **no existe asíntota oblicua**. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función racional tiene asíntota horizontal, no puede tener oblicua. La A.H. ocurre cuando el grado del numerador es menor o igual al del denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: } x = -3, \quad \text{A.H.: } y = 1}$$

**c) (0.75 puntos) Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de $f$ tiene pendiente 1.** La pendiente de la recta tangente en un punto $x$ viene dada por el valor de la derivada $f'(x)$. Por tanto, buscamos los valores de $x$ tales que $f'(x) = 1$. Primero derivamos $f(x)$. Podemos ver $f(x)$ como $1 - 4(3+x)^{-1}$: $$f'(x) = 0 - 4 \cdot (-1) \cdot (3+x)^{-2} \cdot 1 = \frac{4}{(3+x)^2}$$ Igualamos la derivada a 1: $$\frac{4}{(3+x)^2} = 1 \implies 4 = (3+x)^2$$ Resolvemos la ecuación cuadrática: $$\sqrt{4} = 3+x \implies \pm 2 = 3+x$$ 1) $2 = 3+x \implies x_1 = -1$ 2) $-2 = 3+x \implies x_2 = -5$ Ahora calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $f(x)$: - Para $x_1 = -1$: $f(-1) = 1 - \frac{4}{3-1} = 1 - 2 = -1$. Punto **$P_1(-1, -1)$**. - Para $x_2 = -5$: $f(-5) = 1 - \frac{4}{3-5} = 1 - \frac{4}{-2} = 1 + 2 = 3$. Punto **$P_2(-5, 3)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1(-1, -1) \text{ y } P_2(-5, 3)}$$

**d) (0.5 puntos) Estudie la curvatura de la función $f$.** Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada $f''(x)$. Partimos de $f'(x) = 4(3+x)^{-2}$: $$f''(x) = 4 \cdot (-2) \cdot (3+x)^{-3} \cdot 1 = -\frac{8}{(3+x)^3}$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por el dominio (punto de discontinuidad $x = -3$). No hay puntos donde $f''(x) = 0$ ya que el numerador es una constante no nula. **Tabla de signos de $f''(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,+\infty)\\\hline -8 & - & - & - \\ (3+x)^3 & - & 0 & + \\\hline f''(x) & + & \nexists & - \end{array}$$ Interpretación: - En $(-\infty, -3)$, $f''(x) > 0 \implies$ La función es **convexa** (cóncava hacia arriba $\cup$). - En $(-3, +\infty)$, $f''(x) < 0 \implies$ La función es **cóncava** (cóncava hacia abajo $\cap$). 💡 **Tip:** Aunque hay un cambio de signo en $x = -3$, no es un punto de inflexión porque $x = -3$ no pertenece al dominio de la función. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Convexa en } (-\infty, -3) \text{ y Cóncava en } (-3, +\infty)}$$