Estudio de continuidad, derivabilidad y cálculo de área de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f$.** Primero, analizamos la continuidad de $f(x)$. La función está definida por dos ramas polinómicas. Los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$, por lo que el único punto donde podría haber problemas es en el salto entre ramas, $x = 2$. Para que $f$ sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** $f(2) = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 2x) = -(2)^2 + 2(2) = -4 + 4 = 0$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 2x) = (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$. Como $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 0$, la función es **continua en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel; matemáticamente, esto ocurre si los límites laterales coinciden con el valor de la función en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 2$: $$f'(x) = \begin{cases} -2x + 2 & \text{si } x < 2 \\ 2x - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Ahora calculamos las derivadas laterales en el punto de unión $x = 2$: - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2$. - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$. Como las derivadas laterales son distintas ($-2 \neq 2$), la función **no es derivable en $x = 2$**. En ese punto la gráfica presenta un "pico" o punto anguloso. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, las pendientes de las rectas tangentes por ambos lados deben ser iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

**b) (1.5 puntos) Represente el recinto limitado por las rectas $y = 2x$, $x = -1$, $x = 1$ y la gráfica de $f$. Calcule su área.** Nos piden el área entre $x = -1$ y $x = 1$. En este intervalo, $x < 1 < 2$, por lo que solo utilizaremos la primera rama de la función: $f(x) = -x^2 + 2x$. Las funciones involucradas son: - $g(x) = 2x$ (una recta que pasa por el origen). - $f(x) = -x^2 + 2x$ (una parábola cóncava hacia abajo). Buscamos los puntos de corte entre ambas funciones en el intervalo $[-1, 1]$: $$2x = -x^2 + 2x \implies x^2 = 0 \implies x = 0$$ Las funciones se cortan en $x = 0$. Esto divide nuestra región en dos intervalos: $[-1, 0]$ y $[0, 1]$.

Para saber qué función va por encima, restamos las funciones $h(x) = g(x) - f(x)$: $$h(x) = 2x - (-x^2 + 2x) = 2x + x^2 - 2x = x^2$$ Como $h(x) = x^2$ es siempre mayor o igual a $0$ para cualquier valor de $x$, deducimos que $g(x) \ge f(x)$ en todo el intervalo $[-1, 1]$. Esto simplifica mucho el cálculo, ya que no necesitamos separar la integral en dos partes por el punto de corte en $x=0$, ya que la diferencia no cambia de signo. 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f$ y $g$ desde $a$ hasta $b$ es $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$. Al ver que $x^2 \ge 0$, el valor absoluto desaparece.

Calculamos el área mediante la integral definida de la diferencia de las funciones: $$Area = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$Area = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1}$$ $$Area = \left( \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ El área es de $\frac{2}{3}$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \frac{2}{3} \text{ u}^2 \approx 0.667 \text{ u}^2}$$