Probabilidad en el reparto de tareas domésticas

Para resolver este problema, definimos primero los sucesos básicos según el contenido de las papeletas: - $M$: La papeleta tiene escrita la palabra "mercado". - $L$: La papeleta tiene escrita la palabra "leña". - $C$: La papeleta tiene escrita la palabra "casa". El número total de papeletas es 15, desglosadas en: - $n(M) = 3$ - $n(L) = 2$ - $n(C) = 15 - 3 - 2 = 10$ Como las extracciones son de forma ordenada y **sin reposición**, las probabilidades de la segunda extracción dependerán de lo ocurrido en la primera. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para las dos primeras extracciones: 💡 **Tip:** En extracciones sin reposición, el denominador disminuye en cada paso y el numerador disminuye si el elemento extraído es del mismo tipo.

**a) (0.75 puntos) Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra “mercado”.** Queremos calcular $P(M_1 \cap M_2)$. Utilizando la regla del producto: $$P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2 | M_1)$$ 1. En la primera extracción hay 3 de mercado de un total de 15: $P(M_1) = \dfrac{3}{15}$. 2. Tras sacar una de mercado, quedan 2 de mercado de un total de 14: $P(M_2 | M_1) = \dfrac{2}{14}$. Operamos: $$P(M_1 \cap M_2) = \frac{3}{15} \cdot \frac{2}{14} = \frac{6}{210}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 6: $$\frac{6}{210} = \frac{1}{35} \approx 0.0286$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M_1 \cap M_2) = \frac{1}{35} \approx 0.0286}$$

**b) (0.75 puntos) Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra “casa”.** Que no tengan escrita la palabra "casa" significa que pueden ser de "mercado" ($M$) o de "leña" ($L$). Llamaremos al suceso complementario de casa como $\bar{C}$. El número total de papeletas que no son "casa" es $3 + 2 = 5$. Calculamos $P(\bar{C}_1 \cap \bar{C}_2)$: 1. En la primera extracción, hay 5 papeletas favorables de 15 totales: $P(\bar{C}_1) = \dfrac{5}{15}$. 2. En la segunda extracción, al no haber reposición, quedan 4 papeletas favorables de 14 totales: $P(\bar{C}_2 | \bar{C}_1) = \dfrac{4}{14}$. Multiplicamos las probabilidades: $$P(\bar{C}_1 \cap \bar{C}_2) = \frac{5}{15} \cdot \frac{4}{14} = \frac{20}{210}$$ Simplificamos dividiendo entre 10: $$\frac{2}{21} \approx 0.0952$$ 💡 **Tip:** Es más sencillo agrupar los sucesos "mercado" y "leña" en un único grupo de 5 papeletas "no casa" que calcular todas las combinaciones posibles ($M_1M_2$, $M_1L_2$, $L_1M_2$, $L_1L_2$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{no casa}_1 \cap \text{no casa}_2) = \frac{2}{21} \approx 0.0952}$$

**c) (1 punto) Si la segunda papeleta extraída tiene escrita “leña”, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita “leña”?** Se trata de una probabilidad condicionada. Se nos pide $P(L_1 | L_2)$. Aplicando la definición: $$P(L_1 | L_2) = \frac{P(L_1 \cap L_2)}{P(L_2)}$$ **1. Calculamos la probabilidad del numerador $P(L_1 \cap L_2)$:** $$P(L_1 \cap L_2) = P(L_1) \cdot P(L_2 | L_1) = \frac{2}{15} \cdot \frac{1}{14} = \frac{2}{210}$$ **2. Calculamos la probabilidad del denominador $P(L_2)$ usando el Teorema de la Probabilidad Total:** La segunda papeleta es "leña" si la primera fue "mercado", "leña" o "casa": $$P(L_2) = P(M_1 \cap L_2) + P(L_1 \cap L_2) + P(C_1 \cap L_2)$$ $$P(L_2) = \left( \frac{3}{15} \cdot \frac{2}{14} \right) + \left( \frac{2}{15} \cdot \frac{1}{14} \right) + \left( \frac{10}{15} \cdot \frac{2}{14} \right)$$ $$P(L_2) = \frac{6}{210} + \frac{2}{210} + \frac{20}{210} = \frac{28}{210}$$ **3. Aplicamos la fórmula final:** $$P(L_1 | L_2) = \frac{\frac{2}{210}}{\frac{28}{210}} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14} \approx 0.0714$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En problemas de este tipo (saber qué pasó antes dado lo que pasó después) solemos usar el Teorema de Bayes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L_1 | L_2) = \frac{1}{14} \approx 0.0714}$$