Probabilidad condicionada: Alarmas e Incidencias

Primero, definimos los sucesos del problema para poder operar con ellos: - $B$: La alarma elegida es de tipo básico. - $S$: La alarma elegida es de tipo superior. - $I$: La alarma presenta incidencias. - $N$ o $\bar{I}$: La alarma no presenta incidencias. Extraemos las probabilidades del enunciado: - Total de alarmas: $50$. - Alarmas básicas: $30$. Por tanto, $P(B) = \frac{30}{50} = 0,6$. - Alarmas superiores: $50 - 30 = 20$. Por tanto, $P(S) = \frac{20}{50} = 0,4$. - Alarmas sin incidencias: $80\% \implies P(N) = 0,8$. Esto implica que las alarmas con incidencias son $P(I) = 1 - 0,8 = 0,2$. - De las básicas, el $30\%$ tienen incidencias: $P(I|B) = 0,3$. Por tanto, $P(N|B) = 0,7$. Para completar el árbol, necesitamos hallar las probabilidades condicionadas para las de tipo superior ($S$). Usamos la **Probabilidad Total**: $P(I) = P(B) \cdot P(I|B) + P(S) \cdot P(I|S)$ $0,2 = 0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot P(I|S)$ $0,2 = 0,18 + 0,4 \cdot P(I|S) \implies 0,02 = 0,4 \cdot P(I|S) \implies P(I|S) = \frac{0,02}{0,4} = 0,05$. Entonces, $P(N|S) = 1 - 0,05 = 0,95$. Representamos los datos en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**a) (1 punto) Sea de tipo básico y no presente incidencias.** Buscamos la probabilidad de la intersección entre ser básico y no tener incidencias: $P(B \cap N)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(B \cap N) = P(B) \cdot P(N|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior: $$P(B \cap N) = 0,6 \cdot 0,7 = 0,42$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap N) = 0,42}$$

**b) (0.5 puntos) No presente incidencias siendo de tipo superior.** El enunciado nos pide la probabilidad de que no presente incidencias **sabiendo que** es de tipo superior. Esto es una probabilidad condicionada: $P(N|S)$. Este valor ya lo hemos calculado al completar el árbol de probabilidad en el primer paso: $$P(N|S) = 1 - P(I|S)$$ Como vimos que $P(I|S) = 0,05$: $$P(N|S) = 1 - 0,05 = 0,95$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la expresión "siendo de..." indica la condición, que se sitúa a la derecha de la barra vertical en $P(A|B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N|S) = 0,95}$$

**c) (0.5 puntos) Teniendo incidencias sea de tipo básico.** En este caso, la condición es que tiene incidencias ($I$). Buscamos $P(B|I)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|I) = \frac{P(B \cap I)}{P(I)} = \frac{P(B) \cdot P(I|B)}{P(I)}$$ Sabemos que: - $P(B) = 0,6$ - $P(I|B) = 0,3$ - $P(I) = 0,2$ (dato extraído del enunciado, ya que el 80% no tiene incidencias) Calculamos: $$P(B|I) = \frac{0,6 \cdot 0,3}{0,2} = \frac{0,18}{0,2} = 0,9$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|I) = 0,9}$$

**d) (0.5 puntos) Sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".** Buscamos la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles (no puede ser básico y superior a la vez): $P((B \cap I) \cup (S \cap N))$ Como son sucesos disjuntos (la intersección es vacía), la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades: $$P((B \cap I) \cup (S \cap N)) = P(B \cap I) + P(S \cap N)$$ Calculamos cada parte: 1. $P(B \cap I) = P(B) \cdot P(I|B) = 0,6 \cdot 0,3 = 0,18$ 2. $P(S \cap N) = P(S) \cdot P(N|S) = 0,4 \cdot 0,95 = 0,38$ Sumamos ambos resultados: $$P = 0,18 + 0,38 = 0,56$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0,56}$$